Преобразование Фурье

Материал из Национальной библиотеки им. Н. Э. Баумана
Последнее изменение этой страницы: 22:47, 17 ноября 2016.

Преобразование Фурье — операция взятия интеграла Фурье от функции вещественной переменной, результатом которой является новая функция, описывающая амплитуды при разложении исходной функции на гармонические колебания с разными частотами.

Аналогично ряду Фурье, имеет вещественную и комплексную формы.

Вещественный интеграл Фурье

Как правило, большая часть оптических и электрических сигналов имеет непериодический характер и поэтому представляются непереодическими вещественными функциями. Непериодические функции не могут быть разложены в ряд Фурье, однако любую такую функцию всегда можно считать периодической с периодом .

Пусть полученная периодическая функция удовлетворяет условиям Дирихле (определена на всей числовой оси, имеет конечное число точек разрыва на каждом конечном промежутке и абсолютно интегрируема ), что всегда выполняется на практике для рассматриваемых сигналов. Тогда посредством предельного перехода получается разложение в так называемый вещественный (тригонометрический) интеграл Фурье:

где косинус-преобразование Фурье;
синус-преобразование Фурье;
— текущее значение пространственной (временной) частоты.


Интеграл Фурье представляет вещественную функцию в виде суммы бесконечного числа косинусоидальных гармоник с амплитудой и синусоидальных гармоник с амплитудой при непрерывно изменяющейся частоте .

В зависимости от физического смысла переменной x говорят о непрерывном вещественном спектре амплитуд и несмещенных по фазе косинусоидальных и синусоидальных гармоник или о непрерывном вещественном спектре амплитуд которые также называют вещественной спектральной плотностью амплитуд косинусоидальных и синусоидальных гармоник соответственно.

Выражение можно преобразовать к виду:

где ;
;
;
.

В зависимости от представления сигнала говорят о непрерывных вещественных пространственно-частотных спектрах амплитуд и фаз или о непрерывных вещественных частотно-временных спектрах амплитуд и фаз смещенных по фазе косинусоидальных гармоник. Эти спектры часто называют вещественной спектральной плотностью амплитуд и фаз, при этом частоты непрерывно заполняют действительную полуось , а функции и задают закон распределения амплитуд и начальных фаз в зависимости от частоты. В результате интеграл Фурье представляет вещественную функцию в виде суммы бесконечного числа смещенных по фазе косинусоидальных гармоник с амплитудой при непрерывно изменяющейся частоте.

Тригонометрический интеграл Фурье обычно применяют для разложения в вещественный спектр непериодических многомерных и электрических сигналов, описываемых четными или нечетными функциями. Для четной функции имеет вид косинус-интеграла Фурье из несмещенных по фазе косинусоидальных гармоник:

где косинус-преобразование Фурье имеет вид

В случае нечетной функции имеем синус-интеграл Фурье, задающий непрерывное разложение по не смещенным по фазе синусоидальным гармоникам:

где синус-преобразование Фурье имеет вид

Формулы обычно используют вместо для временных сигналов , так как последние заданы для и могут быть продолжены на всю действительную ось четным или нечетным образом.

Комплексный интеграл Фурье

Переход к комплексному виду интеграла Фурье осуществляется в результате предельного перехода в комплексном ряде Фурье так, что . В результате комплексный интеграл Фурье принимает вид:

где называют прямым преобразованием Фурье или Фурье-образом функции .

При этом из сравнения с и следует, что для четной и нечетной функции имеют место равенства:

Обычно называют непрерывным комплексным спектром или комплексной спектральной плотностью, которую графически изображают в виде спектральной плотности амплитуд и спектральной плотности фаз для . При говорят о непрерывном комплексном частотно-временном спектре , который удобно вычислять для всех частот. Очевидно, отрицательные временные частоты по-прежнему не имеют физического смысла. Выражение, восстанавливающее исходный сигнал (прообраз) по комплексной спектральной плотности, имеет вид:

Это выражение называют обратным преобразованием Фурье. Оно показывает, что функцию можно представить в виде суммы бесконечного числа комплексных экспоненциальных гармоник с амплитудой и непрерывно изменяющейся частотой. По аналогии с комплексным рядом Фурье говорят о разложении сигнала на выходе транспаранта в виде непрерывной суммы дифрагировавших вверх и вниз плоских волн. При этом переход к комплексному интегралу Фурье является также естественным физическим обобщением разложения по плоским волнам комплексного непериодического сигнала, учитывающего как амплитудную, так и фазовую модуляцию объекта.

В случае вещественной функции интеграл Фурье служит комплексным обобщением тригонометрического интеграла Фурье . Действительно, из имеем

Так как для вещественной функции первый внутренний интеграл является четной, а второй внутренний интеграл – нечетной функцией от , то первое слагаемое в удваивается, а второе равно нулю. Тогда с необходимостью переходит в .

С помощью прямого преобразование Фурье удобно вычислять коэффициенты комплексного ряда Фурье, если известен Фурье-образ финитного импульса , порождающего периодическую функцию . Рассматривая его для определенности на промежутке и доопределяя нулем в оставшихся точках действительной оси, с учетом получим:

Таким образом, коэффициенты с точностью до множителя совпадают с ординатами комплексной спектральной плотности в точках . При этом если , то .

Многомерные интегралы и преобразования Фурье

По аналогии с многомерными рядами Фурье, для упрощения математических выкладок многомерные интегралы Фурье также удобнее рассматривать в комплексной форме. Непериодическая функция двух переменных может быть представлена двумерным комплексным интегралом Фурье:

Прямое двумерное преобразование Фурье имеет вид:

или

,
где

На практике двумерный Фурье-образ называют двумерным непрерывным комплексным ПЧС или двумерной комплексной спектральной плотностью, которую графически изображают в виде двумерной спектральной плотности амплитуд и двумерной спектральной плотности фаз , рассматриваемых в двумерном частотном пространстве .

Для двумерного обратного преобразования Фурье получим:

или

Прямое и обратное преобразование Фурье для функции трех переменных в общем виде можно записать аналогичным образом:

Основные свойства преобразования Фурье

Фурье-образ входного сигнала s(x, у) обладает рядом полезных свойств, которые широко используют при решении практических задач.

1. Линейность (является следствием линейности интеграла):
2. Прямая теорема смещения (запаздывания):
3. Обратная теорема смещения:
4. Теорема подобия (масштаба):
Согласно данной теореме, растяжение или сжатие функции в координатной области приводит соответственно к сжатию или растяжению пространственно-частотного спектра. В частности, при
Иначе говоря, центрально-симметричное преобразование входного сигнала обусловливает соответствующее преобразование ПЧС, что естественным образом осуществляется в ОИзС.
5. Эрмитова симметрия (Фурье-образ комплексно-сопряженной функции):
Эрмитово-сопряженной функцией по отношению к называют Фурье-образ комплексно-сопряженной с функции
Если вещественна, то ее комплексный ПЧС удовлетворяет соотношению эрмитовой симметрии или т. е. комплексное сопряжение и отражение относительно начала координат не изменяют ПЧС вещественной функции.
Отсюда следует, что, в силу эрмитовой симметрии, вещественная часть ПЧС и амплитуда ПЧС оказываются центрально-симметричными функциями
,
а мнимая часть и фаза – антисимметричными функциями
Для вещественной центрально-симметричной функции эрмитова симметрия означает, что или , т. е. ПЧС также является вещественной центрально-симметричной функцией.
Для вещественной антисимметричной функции или , т. e. спектр оказывается чисто мнимой антисимметричной функцией.
В случае одномерного преобразования Фурье центральная симметрия и антисимметрия трансформируются соответственно в четность и нечетность функции одного переменного.
6. Преобразование Фурье от координатно разделяющихся сигналов:
т. е. Фурье-образ функции с разделяющимися переменными равен произведению Фурье-образов.
7. Преобразование Фурье от осесимметричных сигналов:
Функция s(r) с осевой симметрией часто встречается на практике, так как большинство оптических ПЭ представляют собой фигуры вращения. Так как в полярной системе координат , то скалярное произведение примет вид: , где
Тогда для двумерного преобразования Фурье получим:
Внутренний интеграл после замены выражается через функцию Бесселя 1-го рода нулевого порядка:
Окончательно двумерное преобразование Фурье для функции с осевой симметрией можно представить в виде:
Данное преобразование называют преобразованием Фурье–Бесселя или преобразованием Ганкеля нулевого порядка.
Обратное преобразование Фурье–Бесселя от оceсимметричной спектральной плотности полностью совпадает с прямым:
8. Свойство взаимности:
Повторное применение прямого преобразования Фурье к Фурье-образу восстанавливает центрально-симметричный преобразованный исходный сигнал.
9. Редукция преобразования Фурье к меньшему числу переменных:
Пусть в пространстве двух переменных задана функция , в явном виде не зависящая от .
В общем случае Фурье-образ функции меньшего числа переменных, которая рассматривается в пространстве большего числа переменных, равен произведению Фурье-образа исходной функции на -функцию, соответствующую недостающим пространственным и временным частотам. Например, используя свойство сигнала с разделяющими координатами, найдем прямое преобразование Фурье:
Таким образом, одномерный сигнал в двумерном пространстве имеет одномерный спектр в одномерном пространстве .
10. Преобразование Фурье от производной входного сигнала:
Если существует производная , то
11. Преобразование Фурье от интеграла
Пусть существует интеграл с переменным верхним пределом от входного сигнала. Тогда его Фурье-образ имеет вид

Фурье-образы основных типовых сигналов

Пространственно-временной сигнал Фурье-образ








Гребенчатая функция

(п. 1.7)
- меандр
Финитный меандр


Бесконечный меандр



Знаковая функция
Функция Хевисайда

Спектр гармонического осциллятора
Идеальный осциллятор
Косинусоидальный цуг
Экспоненциальное затухание
Затухающий осциллятор

Фурье-образы интегральных операций

Преобразование Фурье от свертки

Cделаем замену переменной , и поменяем порядок интегрирования. Тогда выражение приводится к виду:

,

т.е. Фурье-образ взаимной свертки равен произведению Фурье-образов свертываемых функций.

Отсюда для свертки двух одинаковых функций (автосвертки) имеем:

Преобразование Фурье от ковариации

Поскольку ковариационную функцию можно свести к взаимной свертке, имеем:

В итоге двух функций и равна двух других функций и , из которых одна совпадает с исходной функцией , а в качестве второй рассматривается функция, эрмитово сопряженная с исходной .

Таким образом, Фурье-образ взаимной ковариационной функции имеет вид:

,

т. е. равен произведению Фурье-образа первой функции на комплексно-сопряженный Фурье-образ второй функции.

Отсюда для Фурье-образа автоковариационной функции получим выражение:

См. также