Поля многочленов

Материал из Национальной библиотеки им. Н. Э. Баумана
Последнее изменение этой страницы: 22:50, 11 мая 2016.

Общие сведения

TemplateDifinitionIcon.svg Определение «Определение - Многочлен над »

если

TemplateDifinitionIcon.svg Определение «Определение - Кольцо многочленов»

- кольцо многочленов

Операции в кольце:

где

TemplateDifinitionIcon.svg Определение «Определение - Корень многочлена »

это значение, что в

TemplateExampleIcon.svg Пример Пример 1

в

- корень


Теорема о том, когда фактор-кольцо кольца многочленов является полем

TemplateTheoremIcon.svg Теорема Теорема

Пусть — простое и - многочлен из степени . Тогда фактор-кольцо является полем из элементов в том и только в том случае, когда неприводим над полем .

Доказательство

Кольцо является коммутативным кольцом с единицей и состоит из элементов. Поэтому достаточно показать, что любой ненулевой элемент этого кольца имеет обратный по умножению, если неприводим.

Так как для любого ненулевого , то в силу алгоритма Евклида для многочленов (см. Теория конечных полей) найдутся такие многочлены . Поэтому , т. е. имеет обратный элемент в .

С другой стороны, если , то являются делителями нуля в кольце в силу равенства . Поэтому если многочлен приводим над , то кольцо не является полем.


Поля многочленов

Теперь пришло время сказать, почему же эта страница называется "Поля многочленов". Увы, сделать этого без материала изложенного выше было нельзя.

Теперь же мы знаем, что фактор-кольцо кольца многочленов по неприводимому многочлену является полем. При этом можно задать взаимнооднозначное соответствие между операции над классами эквивалентности, входящими в это фактор-кольцо и их представителями.

Нетрудно догадаться, что представителями этих классов являются все возможные остатки при делении на неприводимый многочлен, по которому и было построено фактор-кольцо. Получается, что наше фактор-кольцо изоморфно полю, состоящему из многочленов, или Полю многочленов.

Теорема о количестве корней многочлена

TemplateTheoremIcon.svg Теорема Теорема

Многочлен степени над полем имеет в поле не более корней.

Доказательство

Теорему докажем индукцией по степени многочлена. Очевидно, что ненулевой многочлен нулевой степени не имеет корней. Этот случай () положим в основание индукции. Допустим, что утверждение теоремы справедливо для всех многочленов степени не более . Пусть .

Если многочлен в поле не имеет корней, то утверждение теоремы очевидно. Пусть — корень многочлена . Тогда в силу теоремы Безу многочлен делится на , т. е. , где многочлен -й степени по предположению индукции имеет в не более корней. Следовательно, имеет в поле не более корней.


Приводимость многочленов

TemplateDifinitionIcon.svg Определение «Определение - Многочлен приводимый»

если где

TemplateDifinitionIcon.svg Определение «Определение - Многочлен неприводимый»

если или

TemplateExampleIcon.svg Пример Пример 6
неприводим над приводим над


Разложение на множителиРазложение x p n − x {\displaystyle x^{p^n} - x} на множители

TemplateTheoremIcon.svg Теорема Теорема

Для всех простых и целых неотрицательных

,

где произведение берется по всем нормированным неприводимым над многочленам из , степени которых делят .

Доказательство

Пусть — неприводимый многочлен степени . Так как является полем, которое состоит из элементов, то в мультипликативной группе этого поля порядок любого элемента, в том числе и одночлена , является делителем числа , и, следовательно,

.

Представим в виде , где . Тогда, учитывая равенство, имеем:

.

Если делится на , т.е. , то в силу предыдущего равенства

,

и, следовательно, двучлен .

Теперь предположим, что двучлен и , т. е. . В этом случае

и .

Далее заметим, что

.

Таким образом, порядок любого элемента поля не превосходит . Так как , то в этом поле нет порождающего элемента - противоречие с тем, что мультипликативная группа поля циклическая (см. Теория конечных полей)

Поэтому двучлен является произведением всех неприводимых многочленов, степени которых делят .

Пусть - один из таких многочленов. Покажем, что не делится на .

Дифференцируя , легко находим, что производная этого двучлена равна минус единице. Таким образом, в разложении на неприводимые многочлены нет кратных множителей.


Литература

Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля: В 2-х т. Т. 1. Пер. с англ — М. : Мир, 1988. — С. 430. — ISBN 5-03-000065-8.