Показатель числа по модулю другого числа

Материал из Национальной библиотеки им. Н. Э. Баумана
Последнее изменение этой страницы: 08:12, 9 июня 2016.

Определение

TemplateDifinitionIcon.svg Определение «Определение»

Показателем по модулю называется наименьший положительный показатель степени , сравнимой с единицей по модулю :

,

где - показатель.

Пример

Найти показатель числа 3 по модулю 11.

Свойства

Везде далее

TemplateTheoremIcon.svg Теорема Теорема
Если , то
Доказательство

Для доказательства теоремы сперва вспомним[1], что если , то и . Из следует, что , а из следует , т.е. .


TemplateTheoremIcon.svg Теорема Теорема
Если , то
Доказательство
Представим в виде , где . Так как , то
.

Таким образом, , ч.т.д.


TemplateTheoremIcon.svg Теорема Теорема
Доказательство

Доказательство следует из предыдущей теоремы.


TemplateTheoremIcon.svg Теорема Теорема
Доказательство

1) Пусть . Тогда обе части этого сравнения можно (т.к. ) сократить на , так что . Таким образом, .
2) Пусть . Тогда , где целое неотрицательное.


TemplateTheoremIcon.svg Теорема Теорема
В последовательности все числа принадлежат классам, вычетами которых являются числа
Доказательство

По предыдущей теореме числа в последовательности попарно несравнимы. С другой стороны, в последовательности не больше чем несравнимых по модулю чисел. Следовательно, каждое из чисел вида сравнимо с одним из чисел последовательности .


TemplateTheoremIcon.svg Теорема Теорема
Доказательство

1) Пусть . Найдем наименьшее положительное такое, что . Из этого следует, что , то есть , но , значит, , а так как было выбрано как наименьшее положительное, то оно в точности равно .
2) Пусть . Тогда и - целые числа и , т.е. .


TemplateTheoremIcon.svg Теорема Теорема

Если по модулю , то классы

представляют собой различные решения сравнения:

Доказательство

Доказательство следует из предыдущих теорем.


Примечание

Статья на Википедии

  1. Бухштаб, 1966, с.75

Литература