Обнаружение методом однократного отсчета

Материал из Национальной библиотеки им. Н. Э. Баумана
Последнее изменение этой страницы: 13:02, 29 марта 2017.

Постановка задачи

В общем случае методы обнаружения придумываются (угадываются) разработчиком, а в них используется какой-либо критерий с . Качество метода обнаружения оценивается рабочими характеристиками, то есть зависимостями друг от друга. Система обнаружения рассматривается в следующем виде (рисунок 1.1)

Рис. 1.1

Все рассмотренные критерии качества приводят, по существу, к одному правилу принятия решения. Оно состоит в сравнении отношения правдоподобия с его пороговым значением , величина которого определятся выбранным критерием (см. раздел 5.3). Система обнаружения, использующая такое правило, должна иметь пороговое (сравнивающее) устройство (ПУ) (рис. 1.2), на вход которого поступает величина .

Рис. 1.2 Функциональная схема электронной системы, реализующей процесс принятия решения

Настройку ПУ осуществляют в соответствии с выбранным значением . Выход ПУ представляет собой решение «Да» (при) или «Нет» (при)

Таким образом, установлено функциональное назначение одного из ПЭ в ЭТ структурной схемы системы обнаружения (рис. 1.1 ).

Остается решить, как должна обрабатываться реализация чтобы на вход ПУ поступила величина . Эта задача может быть решена, если априорно известны:

  • некоторые данные о полезном сигнале ,
  • вероятностные характеристики помехи ,
  • характер взаимосвязи между полезным сигналом и помехой.

При энергетическом расчете системы обнаружения характеристики объекта обнаружения, как излучателя, как правило, известны и задаются в виде ММ, описывающей изменение интенсивности и спектрального состава излучения во времени и пространстве. Характеристики подсистемы первичной обработки сигнала также известны. Следовательно, при заданных параметрах системы первичной обработки сигнала всегда можно рассчитать форму обнаруживаемого сигнала. Таким образом, для решения задачи энергетического расчета целесообразно находить отношение правдоподобия, считая форму полезного сигнала полностью известной. Однако фаза сигнала (т.е. положение сигнала на шкале времени, либо координаты в пространстве обнаружения), как правило, неизвестна, так как неизвестен момент появления объекта обнаружения в мгновенном поле зрения следящей системы.

Описание метода однократного отсчета

Теперь можно приступить к установлению взаимосвязи между реализацией s(t) и отношением правдоподобия . Вначале рассмотрим простейший случай обнаружения при так называемом методе однократного отсчета. Суть этого метода состоит в том, что в некоторый момент времени (рис. 1.3) берется единственный отсчет реализации который и поступает на вход ПУ. По этому отсчету необходимо принять решение присутствует объект обнаружения в поле зрения

Система в момент или нет.

Рис. 2.1 Реализация случайного процесса, используемая в методе однократного отсчета

На рис. 1.3 штриховой кривой изображен полезный сигнал на входе ПУ. Мгновенное значение полезного сигнала обозначено на рис. 1.3 штриховой линией. Принимаем сигнал и помеха аддитивны, то есть:

Необходимо определить отношение правдоподобия , используя формулу (5.8), т.е. найти вероятности и имея в виду, что из реализации s(t) взят единственный отсчет , являющийся значением случайной величины .

В отсутствии полезного сигнала , так что при имеем

где функция представляет собой одномерную плотность распределения вероятности помехи.

При наличии полезного сигнала вероятность равна вероятности получения значения случайной величины содержащей полезный сигнал и помеху. В силу их аддитивности и детерминированного значения , эта вероятность совпадает с вероятностью получения значения случайной величины в реализации, содержащей только помеху при отсутствии сигнала так что

[т.к. - детерминированный] =

На основании получим 5.8 1 2 получим

Поскольку помеху можно считать стационарным нормальным случайным процессом с нулевым средним, то величины и являются значениями центрированных случайных величин, имеющих нормальное распределение. При этом их плотности вероятности имеют вид

где - дисперсия помехи . Подставляя и в 3 получим

Из следует, что при известных и отношение правдоподобия и отсчет реализации связаны между собой однозначно. Каждому отсчету взятому из реализации в любой момент времени соответствует вполне определенное значение также относящееся к этому моменту времени. Поэтому при обнаружении методом однократного отсчета оказывается достаточным лишь произвести этот отсчет и передать его в ПУ.

Заметим, что настройку ПУ проводят не по выбранному значению , а по соответствующему ему значению найти которое можно из , положив

и , так что

При выдается решение «Да», при - решение «Нет».

Недостатки метода однократного отсчета

Неопределенность в решении задачи заключена в следующем:

  • Неясно, с какой частотой следует производить отсчеты. При слишком большом интервале времени между соседними отсчетами полезный сигнал (в силу неизвестности момента его появления) может быть пропущен.
  • Неясно, как определить значение в момент отсчета. Непосредственное измерение мгновенного значения полезного сигнала по полученному значению реализации невозможно из-за наличия помехи.

Метод непрерывного сравнения мгновенного значения

Для преодоления неопределенности отсчеты следует производить непрерывно. В этом случае пропуск сигнала (по крайней мере, вызванный дискретностью отсчетов) в системе отсутствует. Реализация непрерывно поступает в ПУ. В те отрезки времени (рис. 1.4), когда значения реализации превышают порог , выдает решение «Да», в остальное время - «Нет».

Рис. 3.1 Формирование решений "Да" и "Нет" на выходе ПУ при обнаружении методом однократного отсчета

Таким образом, метод однократного отсчета практически реализуется путем непрерывного сравнения мгновенных значений полученной реализации с заранее установленным значением порога .

Определение значения в момент отсчетаОпределение значения c i {\displaystyle c i \,\!} в момент отсчета

Порог определяется по формуле , где величина представляет собой любое из возможных мгновенных значений полезного сигнала на входе ПУ в диапазоне от до . Причем выбор этого значения следует производить так, чтобы обеспечивались наилучшие вероятностные характеристики обнаружения. Такое требование приводит к необходимости определять порог по максимальному (пиковому) значению сигнала, т.е. использовать следующую зависимость, получаемую из при

Так что можно представить в виде

где

Вероятностные характеристики обнаружения в методе непрерывного сравнения мгновенных значений реализации =Вероятностные характеристики обнаружения в методе непрерывного сравнения мгновенных значений реализации s i < m a t h > c < m a t h > s p r g {\displaystyle s i \,\!<math> c <math> s {prg} \,\!} =

Теперь можно перейти к определению вероятностных характеристик обнаружения

Условная вероятность ложной тревоги

Условная вероятность ложной тревоги, очевидно, равна вероятности того, что мгновенное значение реализации превысит порог в отсутствии полезного сигнала, т.е.

Произведя замену переменной , получим

Поскольку , то

где - функция Лапласа (интеграл вероятностей) вида

Подставляя в из (3.1') найдем окончательно

где

равен отношению квадрата пикового значения сигнала к дисперсии помехи.

Условная вероятность пропуска сообщения

Условная вероятность пропуска сообщения равна вероятности того, что при наличии сигнала величина окажется меньше , так что 

После замены переменной получим

а после подстановки из в имеем

Поскольку , то формула для условной вероятности правильного обнаружения может быть записана в виде

Подставляя и в и , можно получить зависимости, определяющие вероятность ошибки любого рода и средний риск:

Напомним, что если в соответствии с критерием максимума апостериорной вероятности положить в , то формула дает минимальное значение . Точно так же, приняв в в соответствии с критерием Байеса , получим .

Отношение сигнал/помеха. Рабочие характеристики системы в режиме обнаружения

Выражения - , определяющие вероятностные характеристики Система обнаружения, получены применительно к случаю обнаружения методом однократного отсчета. Однако, как показано в дальнейшем, они справедливы не только для этого метода, а имеют более общий характер. Поэтому прежде чем перейти к другим методам обнаружения, проведем анализ полученных выражений с позиций их практического использования в энергетическом расчете Система. Начнем с формулы , которая определяет величину , равную отношению квадрата максимального значения полезного сигнала к дисперсии помехи. Эта величина, называемая отношением сигнал/помеха (ОСП), играет важнейшую роль при решении задачи обнаружения. Причем практическое использование этого понятия всегда требует конкретизации, т.е. указания конкретно ПЭ структурной схемы Система, к которой относится величина . Выражения - , в которых относится ко входу ПУ, показывают, что полученное ОСП непосредственно влияет на все основные вероятностные характеристики обнаружения.

Рабочие характеристики Система обнаружения на основе критерия Неймана-Пирсона

Используя зависимости , и , можно ответить на вопрос (п. 5.2) о нахождении порогового отношения правдоподобия, соответствующего критерию Неймана-Пирсона. Поскольку этот критерий базируется на вероятностях и (или ), которые для энергетического расчета должны быть заданы, то и или и следует рассматривать как систему уравнений с двумя неизвестными и . Исключая, например из уравнений и величину , получим формулу для вычислениями :

где - обратная функция Лапласа, т.е. аргумент функции Лапласа при значении самой функции, равном .

Полученная формула подтверждает высказанное ранее положение о том, что пороговое отношение правдоподобия по критерию Неймана-Пирсона не зависит от априорных вероятностей и коэффициентов потерь и определяется только значениями условных вероятностей ложной тревоги и правильного обнаружения.

Если из и исключить , то можно получить

Зависимости при (рис. 1.5), построенные на основе , называют рабочими характеристиками системы обнаружения, работающей на основе критерия Неймана-Пирсона.

См. Также

Примечания