Неравенство Коши — Буняковского

Материал из Национальной библиотеки им. Н. Э. Баумана
Последнее изменение этой страницы: 01:41, 15 апреля 2016.
Open book.svg Авторство
Чичварин Н. В.
Согласовано: 15.04.2016
Статья по учебной дисциплине
Название дисциплины:

Обнаружение и распознавание сигналов

Преподаватель:

Чичварин Н. В.

Неравенство Коши́ — Буняко́вского связывает норму и скалярное произведение векторов в линейном пространстве. Это неравенство эквивалентно неравенству треугольника для нормы в пространстве со скалярным произведением.

Неравенство Коши — Буняковского иногда, особенно в иностранной литературе, называют неравенством Шварца и неравенством Коши — Буняковского — Шварца, хотя работы Шварца на эту тему появились только спустя 25 лет после работ Буняковского[1]. Конечномерный случай этого неравенства называется неравенством Коши и был доказан Коши в 1821 году.

Формулировка

Пусть дано линейное пространство со скалярным произведением . Пусть — норма, порождённая скалярным произведением, то есть . Тогда для любых имеем:

причём равенство достигается тогда и только тогда, когда векторы и пропорциональны (коллинеарны).

Комментарии

В конечномерном случае можно заметить, что

где площадь параллелограмма, натянутого на векторы и .

В общем случае:

Примеры

  • В пространстве комплекснозначных квадратично суммируемых последовательностей неравенство Коши — Буняковского имеет вид:
где обозначает комплексное сопряжение .
  • В пространстве комплексных квадратично интегрируемых функций неравенство Коши — Буняковского имеет вид:
  • В пространстве случайных величин с конечным вторым моментом неравенство Коши — Буняковского имеет вид:
где обозначает ковариацию, а — дисперсию.

Доказательство

Значит дискриминант многочлена неположительный, то есть

Следовательно,

Примечания

  1. Bounjakowsky W. «Mémoires de l’Académie des sciences de St-Pétersbourg. 7 série», 1859, t. 1, № 9.