Некогерентная оптическая система

Материал из Национальной библиотеки им. Н. Э. Баумана
Последнее изменение этой страницы: 16:57, 14 ноября 2016.


Некогерентная оптическая система (НКОС)оптическая система, работающая при некогерентном освещении и линейная относительно интенсивности.

Модельное представление преобразования некогерентного сигнала в ОС[1]

Термин оптическая система (ОС) в материалах может быть интерпретирован как пространственный фильтр (ПФ).

Некогерентный сигнал, носителем которого является электромагнитное излучение в рамках скалярной теории дифракции характеризуется интенсивностью . Модельное представление преобразования некогерентного сигнала аналогично как в оптическом диапазоне, так и в инфракрасном.

Для случая линзы Люнеберга модель адекватна и в радиодиапазоне (СВЧ).

Если носителем сигнала является акустическое излучение, то данная модель применима для акустических линз.

Для понимания задач противодействия атакам и помехам в КПС с РЭС, ОЭС и АЭС, определенная в материалах модель имеет общую степень адекватности.

Поэтому далее в качестве примера рассматривается модель оптической системы.

Так как данная ОС линейна относительно интенсивности, то некогерентные дифракционно-аберрационные изображения точечного источника в ОС, называемые некогерентными функциями рассеяния и рассматриваемые как усредненные во времени распределения интенсивности в изображении точечного источника, изменяются по статистически независимым законам.

При этом операторы поведения имеют вид:

где - распределение интенсивности в идеальном изображении (копии);
- приведенная некогерентная функция рассеяния дифракционно ограниченной ОС (НКФР ДОС).

Интегралы суперпозиции учитывают тот факт, что распределение интенсивности, задаваемое НКФР в точке изображения, пропорционально интенсивности в точке предметной плоскости.

На практике для характеристики изменения контраста на выходе ОС переходят к нормированным распределениям интенсивности:

где

Тогда на основании имеем

где функцию рассеяния, получаемую за счет соответствующего нормирующего приведения или записывают в виде:

Операторы поведения имеют вид интегралов суперпозиции:

Модель преобразования некогерентного сигнала в частотной области

Рассмотрим поведение некогерентной ОС (как, впрочем, и любого ПФ) как двумерного линейного некогерентного спектра в самом общем приближении при описании реальной ОС. Переходя в к пространственно-частотным представлениям, получим выражения описывающие передачу пространственных частот в некогерентной реальной системе (РОС):

где - исходный, масштабированный и нормированный масштабированный спектр некогерентного входного сигнала в виде распределения интенсивности;
- исходный и нормированный спектр идеального геометрооптического некогерентного изображения, формируемого ОС без учета аберрационных и дифракционных искажений;
- исходный и нормированный спектр некогерентного, в общем случае, реального изображения.

Фурье-образы приведенной и нормированно приведенной пространственно-инвариантной функции рассеяния ОС называют соответственно некогерентной передаточной функцией (НКПФ) ОС:

и оптической передаточной функцией (ОПФ) ОС, являющейся также нормированной передаточной функцией:

где .

В общем случае ОПФ представляет собой комплексную функцию:

где
.

Модуль ОПФ , называемый модуляционной передаточной функцией (МПФ), при анализе фотографических ОС часто называют частотно-контрастной характеристикой (ЧКХ). Аргумент ОПФ задает фазочастотную характеристику (ФЧХ).

Свойства ОПФ

Основные свойства ОПФ вытекают из ее определения:

  • Свойство нормированности. Из следует, что ОПФ является нормированной НКПФ:
  • Эрмитова симметрия. Эрмитово-сопряженная ОПФ (комплексносопряженная ОПФ от отрицательных аргументов) совпадает с исходной, т.е. или . Это частный случай формулы, применяемой к вещественной нормированно-приведенной НКФР. В силу эрмитовой симметрии ОПФ ее МПФ является центрально-симметричной функцией, а ФЧХ - центрально-антисимметричной функцией. Поэтому двумерные графики МПФ и ФЧХ достаточно изображать только в пределах одной частотной полуплоскости. В одномерном случае МПФ оказывается четной, а ФЧХ нечетной функцией; их графики строят вдоль неотрицательной пространственно-частотной полуоси.
  • Свойство ограниченности. МПФ на любой частоте не превосходит ее значения на нулевой частоте

Из имеем

Тогда, переходя к нормированным характеристикам, получим

Откуда с учетом неотрицательности приведенной НКФР следует .

Передача пространственных частот в некогерентной ОС

Нормировка значений спектра в на их значения на нулевой пространственной частоте и введение ОПФ имеют глубокий оптико-физический смысл. По определению интенсивность является неотрицательной величиной и всегда содержит не равную нулю постоянную составляющую или постоянный фон, т. е. распределение интенсивности на нулевой пространственной частоте с учетом имеет вид

Визуальное качество изображения, формируемого НКОС, определяется относительной величиной интенсивности несущих информацию участков изображения по сравнению с постоянным фоном. Поэтому нормированные спектры интенсивностей в позволяют судить о контрасте входного и выходного изображений. При этом именно ОПФ показывает изменения контраста входного распределения интенсивности и величину фазового сдвига пространственно-частотных гармоник.

Поток излучения в некогерентном изображении точечного источника

Если светимость точечного источника , то поток излучения , собираемый ОС:

Распределение освещенности в изображении точечного источника, формируемого НКОС, определяется НКФР . По закону сохранения энергии величина потока в изображении точечного источника

где - энергетический коэффициент пропускания НКОС.

Он определяет оптико-физический смысл нормирующего приведения НКФР, который заключается в ее нормировке на коэффициент пропускания по интенсивности. Иначе говоря, для произвольной ОС (сравнивая с )

откуда

где - апертурный угол в пространстве изображений;
- коэффициент увеличения (масштаба).

В свою очередь, оптико-физическое содержание перехода от НКПФ к ОПФ в соответствии с состоит в нормировке НКПФ на приведенную величину коэффициента пропускания по интенсивности.

Модельные представления пространственных передаточных функций (в частности - ОПФ)

Так как при некогерентном освещении приведенная НКФР , а КПФ определяется через функцию зрачка, то и ОПФ должна также выражаться через функцию зрачка. При этом в отличие от КПФ связь между ОПФ и функцией зрачка оказывается более сложной. Поэтому процесс линейной фильтрации пространственных частот в некогерентной пространственно-инвариантной (изопланарной) оптической изображающей системе (ПИОИзС) имеет свои характерные особенности, отсутствующие при когерентном освещении.

Аппроксимирующая модель НКФР

При предварительных расчетах для определения приближенного вида ПЧС выходного сигнала в ОЭС, а также для обоснования технических требований к оптической системе, функция рассеяния для средней длины волны рабочего диапазона задается аналитически в виде аппроксимирующей функции.

Графики наиболее часто встречающихся НКФР, которые определяют типовые базисные преобразованные -сигналы, приведены на рис. 1.

Рис. 2, а-б. Поверхностные геометрические модели типовых передаточных функций в случае: а - круговой некогерентной функции рассеяния, в - гауссовой некогерентной функции рассеяния
TemplateExampleIcon.svg Пример Пример 1. Прямоугольная функция рассеяния (прямоугольный параллелепипед, рис. 1, а) отлична от нуля в прямоугольной области:

;


TemplateExampleIcon.svg Пример Пример 2. Круговая функция рассеяния (цилиндр, рис. 1, б) отлична от нуля внутри круга

:

Переходя к нормированно-приведенной круговой НКФР и используя преобразование Фурье-Бесселя, получим

.

Проведя замену с учетом свойства функций Бесселя и , где - функция Бесселя первого рода первого порядка, имеем ОПФ в виде:

.

Функция означает, что ОПФ в случае круговой НКФР порождается функцией Бесселя и имеет вид, подобный (рис. 2, б).


TemplateExampleIcon.svg Пример Пример 3. Секториальная функция рассеяния (секториальная призма, рис.1, в) отлична от нуля в секторе

.

ОПФ как фурье-образ нормировочно-приведенной векториальной функция рассеяния

,

где не выражается в квадратурах.

На практике ее используют в получастотном методе определения ПЧС сигнала на выходе ОЭС с вращающимся МАИ. Тогда, учитывая периодический характер , ее можно разложить в комплексный ряд Фурье

,

где .


TemplateExampleIcon.svg Пример Пример 4. Косинусоидальная функция рассеяния m-го порядка (рис. 1, г) отлична от нуля в прямоугольной области

Несмотря на то, что отлична от нуля внутри прямоугольника (квадрата), в окрестности начала координат в случае квадратной области она локально подобна осесимметричной функции. Поэтому обычно на практике , так что нормирующий множитель (см. )

,

где - гамма функция.

Используя представления для , получим окончательно

,

где .
Применение косинусоидальной НКФР приводит хотя и к громоздким, но практически всегда выполнимым вычислениям при нахождении ОПФ.


TemplateExampleIcon.svg Пример Пример 5. Гауссова функция рассеяния (рис. 1, д) отлична от нуля на всей плоскости и соответственно в декартовой и полярной системах координат имеет вид

где - радиус, на котором интенсивность падает в раз;
- соответствующие размеры вдоль осей и .

В пятне рассеяния радиусом сосредоточено ~ 87 % всей энергии. Соответствующие нормирующие множители имеют вид

.

Тогда ОПФ тоже оказывается гауссовыми

.

График ОПФ показан на рисунке 2, б.


Примечания

  1. В статье приняты следующие обозначения:
    1. ДОС - дифракционно-ограниченная система, то есть пространственный фильтр, не создающий абстракций;
    2. ОПФ - оптическая передаточная функция. ОПФ можно рассматривать как передаточную функцию пространственного фильтра преобразующего некогерентного измерения;
    3. НКФР - некогерентная функция рассеяния;
    4. НКПФ - некогерентная передаточная функция;
    5. ПЧС - пространственный частотный спектр;
    6. ИзОС - изображающая оптическая система. Это любой ПФ, обладающий идеальными фокусирующими свойствами;
    7. РОС - реальная оптическая система;
    8. - коэффициент увеличения (масштаба).

См. также