Методическое пособие по программе Mathcad

Материал из Национальной библиотеки им. Н. Э. Баумана
Последнее изменение этой страницы: 20:07, 5 декабря 2016.

Возможности "Mathcad"

Пакет программ "Mathcad" позволяет выполнять математические расчёты с помощью компьютера в среде операционной системы "Windows".

"Mathcad" включает в свой состав три редактора - формульный, текстовый и графический. Благодаря им обеспечивается принятый в математике способ записи функций и выражений и получение результатов вычислений, произведенных компьютером, в виде таблиц и графиков. Взаимодействие пользователя с компьютером осуществляется с помощью удобного графического интерфейса , включающего пиктограммы, диалоговые окна, меню опции и другие "инструменты", располагаемые на экране дисплея.

"Mathcad" включает множество операторов, встроенных функций и алгоритмов решения разнообразных математических задач, которые прямо приложимы ко всему комплексу вопросов, рассматриваемых в рамках самых разнообразных научно-технических дисциплин. "Mathcad" обладает повышенной точностью и быстродействием вычислений повышенной степени сложности, используя 32-разрядную память.

С помощью «Mathcad» можно решать следующие математические задачи:

  • оперировать с действительными и комплексными величинами и числами;
  • решать всевозможные алгебраические задачи;
  • разлагать функции в ряд Тейлора и Фурье;
  • разлагать функции в ряд Тейлора и Фурье;
  • выполнять действия с векторами и матрицами;
  • осуществлять логические операции;
  • производить дифференцирование и интегрирование функций;
  • осуществлять преобразования Фурье и Лапласа;
  • решать систему дифференциальных уравнений;
  • проводить статистические вычисления и анализ;
  • производить аппроксимацию функций, заданных по точкам;
  • решать задачи, относящиеся к линейному и нелинейному программированию и связанные с поиском глобального экстремума функции цели.

Основы языка «Mathcad»

Язык, на котором изъясняются в среде «Mathcad» для изображения констант, переменных величин, операторов, функций, уравнений и иных математических записей, практически полностью совпадает с общепринятым в математике.

Символами этого языка являются: малые и заглавные буквы латинского и греческого алфавита; арабские цифры от до ; знаки математических операций ; имена функций и другие принятые в математике знаки.

В математике различают константы(целые и вещественные) и переменные величины. Значение константы остается неизменным а процессе выполнения программы, значение переменной - может изменяться.
Примеры записи целых констант:
Примеры записи вещественных констант или в сжатой форме при большом числе знаков с использованием буквы Е в качестве основания 10:

,
где - целое или дробное число,
- основание 10,
- целое число, являющееся показателем основания 10.

Примеры записи вещественных констант с использованием буквы : есть число ; есть число ; есть число .
Вычисления могут производиться с точностью ло 15 знака после запятой.

Переменные величины обозначаются одной или несколькими буквами латинского или греческого алфавита: . Переменные величины не должны совладать с именами функций.

Комплексные числа с целыми или вещественными константами записываются в виде: или , а с переменными величинами в виде: или , где и =

Функции, представляющие собой зависимости одной переменной величины от другой (аргумента) записываются в виде , а в случае нескольких аргументов в форме .

Громадный набор стандартных функций: тригонометрических и обратных им,гиперболических и обратных им, показательных и логарифмических, функций комплексного аргумента, специальных (Беcселя, Чебышева, Лагера, Лэжандра, Эрмита, гамма и других), статистических, финансовых, связанных с разнообразными преобразованиями и поиском оптимальных решений и т. д., представлены подменю "Встроенные функции" и на математических инструментальных панелях. Путем обращения к этим встроенным в пакет «Mathcad» функциям можно выполнять самые разнообразные компьютерные вычисления.

Знаки всех математических операций, как арифметических (сложение, вычитание, деление, возведение в степень, извлечение корня и т. д.), так и относящихся к высшей математике (интегрирование, дифференцирование, связанных с матричным и векторным исчислением и т. д.) в пакете «Mathcad» совладают с общепринятыми в математике.

Приведем примеры арифметических операторов, указывающих на выполнение определенных математических операций над данными (операндами): сложение , вычитание , деление , умножение и т. д. Следует различать операции равенства и присваивания . В программе сначала переменной присваивается определенное значение и только после окончания вычислений можно поставить знак равенства.Знаком равенства при символьных вычислениях является .

Mathcad1.png
M2.png

Весьма важным здесь является подменю "Функции ", вынесенное также на стандартную линейку.
Меню «Формат». Здесь расположены команды, позволяющие придать определенную форму создаваемому документу: разделить его на области, выбрать цвет, тип и размер шрифта надписей, придать определенный вид исходным данным, уравнениям и результатам вычислений.
Весьма важной для вычислений здесь является опция "Результат", после исполнения которой появляется окно, позволяющее установить форму результата и его точность (до 15-го знака после запятой).
Меню "Математика". Здесь сосредоточены опции, относящиеся к процессу вычисления, в том числе к его автоматизации.
Меню "Символы". Данное меню включает операции символьной математики: преобразование выражений, разложение многочлена на множители, определение коэффициентов полинома и его корней, интегрирование и дифференцирование функций.
Меню "Окно". С помощью команд этого меню можно придать опре-деленный вид расположению окон, например, по вертикали, горизонтали или каскадом, содержащие определенные рабочие документы «Mathcad».
Меню "?" (справка) предоставляет возможность получить разнообразную информацию справочного характера по работе в среде «Mathcad».
Ниже с помощью примеров будет раскрыто содержание и процедура пользования различными подменю, командами и опциями из перечисленных меню.
Вторая строка текстового окна, называемая стандартной линейкой, включает наиболее часто используемые операции, каждой из которых соответствует определенная пиктограмма, смысл которой раскрывается ее изображением. При установке курсора на пиктограмме под ней появляется надпись, поясняющая ее назначение, а при одном щелчке левой клавишей "мыши" осуществляется выполнение соответствующей команды. Все пиктограммы дублируют наиболее часто используемые команды, содержащиеся в меню. Такое дублирование ускоряет работу с программой, позволяя ту или иную команду выполнить в один, а не в два приема.
Третья строка текстового окна называется линейкой форматирования. В ней представлены наиболее важные команды только из одного меню - форматирования, определяющего внешнюю форму напечатанного документа. При помощи линейки форматирования можно выбрать требуемый вид, размер и толщину шрифта, выровнять текст, дать нумерацию абзацам и выполнить другие команды. При установке курсора на значке под ним появляется надпись, раскрывающая его назначение, а при одном щелчке осуществляется выполнение соответствующей команды.
Панель "Математика" из меню "Вид", можно постоянно расположить в текстовом окне в качестве 4-й строки.


Шесть правил вычислений в среде «Mathcad»


Возможны два типа вычислений в среде «Mathcad», осуществляемые с помощью формульного редактора: численный и символьный. При первом типе результат получается в виде числа, при втором - в форме математического выражения.

Реализация численного способа осуществляется:
- путем обращения к панелям математических инструментов из меню "Вид";

  • путем обращения к встроенным функциям f(x) из меню "Вставка";
  • с помощью клавиатуры.


Реализация символьного способа, при котором происходит преобразование одного математического выражения в другое, осуществляется:

  • путем обращения к меню "Символы";
  • путем обращения к панели математических инструментов "Символы" из меню "Вид";
  • с помощью клавиатуры.


Запись математических выражений в составляемую программу осуществляется с помощью математических инструментальных панелей, путем обращения к встроенным функциям f(x) и с помощью клавиатуры. В том месте рабочей области текстового окна, где установлен курсор-стрелка, после щелчка левой клавиши "мыши" возникает визир в форме значка + красного цвета. На месте установки визира отражается результат той или иной команды или операции и происходит ввод в программу требуемого математического выражения. После ввода первого символа визир преобразуется в две линии - горизонтальную и вертикальную - синего цвета. Перемещение визира осуществляется с помощью "мыши" при нажатой левой клавиши или клавиш клавиатуры, ответственных за перемещение курсора. Сформулируем шесть правил, которыми следует пользоваться при реализации численного и символьного методов решения разнообразных математических задач в среде «Mathcad». Данные правила, позволяющие одну и ту же задачу решать разными способами, сопроводим примерами.

1-е правило, связанное с обращением к панелям математических инструментов из меню "Вид": "Арифметика", "Матрицы" и

"Математический анализ" (Исчисления"), позволяет получить результат в виде числа. Сначала щелчком вызывается соответствующую панель инструментов, а затем производится щелчок по требуемой пиктограмме (кнопке), после чего в рабочей области текстового окна в месте установки красного визира появляется определенное выражение. Вписывание в него исходных данных и ввод знака равенства дает числовой результат.


Примеры.
1. Вычислить косинус угла, равного 0,5 радиана.
Вызываем панель "Арифметика" . Вписываем внутрь скобок число и вводим знак =, после чего автоматически получаем результат:
2. Вычислить определенный интеграл от функции в пределах изменения аргумента от 0.5 до 2. Вызываем панель "Матанализ" ("Исчисление"), щелчок по пиктограмме, на которой изображен определенный интеграл. В рабочей области тестового окна в месте установки красного визира появляется выражение:

Вписываем в него значения верхнего и нижнего пределов интегрирования, а под знаком интеграла заданную функцию, вводим знак =, после чего автоматически получаем результат:

3. Получить из заданной матрицы размером 3x3 транспонированную матрицу.
Вызываем панель инструментов "Матрица". На ней делаем щелчок по пиктограмме, на которой изображена матрица. В рабочей области тестового окна в месте установки красного визира появляется диа-логовое окно, в котором после слов "строки" и "столбцы" вписываем заданные числа: 3 и 3. После нажатия на кнопку "ОК" или "Вставить" в тесте программы появляется матрица выбранной размерности. Вписываем в ячейки матрицы требуемые числа. Обрамляем с помощью курсора всю запись пунктирной линией и щелкаем по пиктограмме Мт, означающей выполнение операции по транспонированию матрицы. Вводим знак равенства, после чего автоматически получаем результат:


Вызов матрицы можно произвести также путем обращения к подменю "Матрица" из меню "Вставка".


2-е правило, связанное с обращением к встроенным функциям f(x) из меню "Вставка", позволяет получить результат в виде числа. Производится обращение к пиктограмме "Встроенная функция f(x)" на 2-й строке текстового окна - стандартной линейке. На появившемся после щелчка диалоговом окне в разделе "Категория функций" выбирается определенное имя, а в разделе "Название функции" - требуемая функция. После нажатия на кнопку "ОК" или "Вставить" в рабочей области тестового окна появляется выбранная функция, в которую вписываются заданные числа и вводится знак =, после чего автоматически получается результат.


4. Вычислить функцию Бесселя 1-го рода 1-го порядка при аргументе 5. Обращаемся к пиктограмме встроенная функция f(x) на 2-й строке текстового окна - стандартной линейке. На появившемся после щелчка диалоговом окне в разделе "Категория функций" выбираем строку с надписью "Бесселя", а в разделе "Название функции" - I1. После нажатия на кнопку "ОК" или "Вставить" в рабочей области тестового окна в месте установки красного визира появляется выражение I1 (■). Вписываем внутрь скобок заданное значение аргумента - I1 (5) - и вводим знак =, после чего автоматически получаем результат: I1 (5)=24.336.


3-е правило, связанное с вводом необходимых знаков с помощью клавиатуры, позволяет получить результат, как в численном, так и символьном виде. Данное правило, по существу, аналогично двум предыдущим. Только здесь все знаки - числа, арифметические действия и латинские обозначения - вводятся в текст составляемой программы с помощью клавиатуры. Возможен ввод и специальных операторов при символьных вычислениях путем одновременного нажатия двух или трех клавиш.


Вычисление производных

  1. Для ввода оператор 1-й производной следует одновременно нажать на две клавиши: shift + ?.
  2. Для ввода оператора n-й производной следует одновременно нажать на три клавиши: ctrl+ shift + ?.
  3. Для ввода знака неопределенного интеграла следует нажать на две клавиши: Ctrl + I.
  4. Для ввода знака определенного интеграла следует нажать на две клавиши: shift + &.
  5. Исполнение символьных операций дифференцирования и интегрирования осуществляется нажатием двух клавиш: shift + F9.


4-е правило, связанное с обращением к математической панели инструментов "Символы", позволяет получить результат как в сим¬вольном, так и численном виде. Математическое выражение, подлежащее преобразованию, запи-сывается в рабочей области текстового окна и с помощью курсора обрамляется рамкой. Далее в зависимости от вида преобразования . выбирается соответствующее ключевое слово:

Series - при разложении функции в степенной ряд Маклорена по выбранной переменной; Expland- при разложении в степенной ряд выражений типа би-нома Ньютона; Complex - при преобразовании комплексных чисел;

MT→, M − 1→, - при транспонировании и обращении (инвертировании) матриц и расчете их определителя;

Символьный знак равенства → при дифференцировании, и т.д. После щелчка по выбранному ключевому слову к записи автоматически добавляется это слово и символический знак равенства →, После второго щелчка вне рамки записи автоматически появляется результат в виде нового символьного выражения, полученного из исходного в результате преобразования.

Примеры.


5-е правило, связанное с обращением к меню "Символы", подменю "Расчеты", позволяет произвести символьные вычисления, в том числе и в комплексной области.Математические выражения, связанные между собой определенными операциями, записываются в рабочей области текстового окна, и с помощью курсора обрамляется рамкой. Далее щелчком производится обращение к строке "символические" при дифференцировании и интегрировании функций и других операциях, а при работе с комплексными числами - к строке "комплексные".

После щечка на рабочем листе появляется результат в виде нового выражения, располагаемого под исходной записью.

Примеры

1.

2.

3.

4.

6-е правило, также связанное с обращением к меню "Символы", позволяет произвести разнообразные символьные преобразования, записав в рабочей области текстового окна подлежащее преобразованию выражение.

При обращении к подменю "Переменные" в этом выражении необходимо выделить (затемнить) один символ - переменную - путем протаскивания курсора. Далее с помощью подменю "Переменные" можно выполнить следующие операции: -найти корни алгебраического и трансцендентного уравнений (опция "Вычислить"); -произвести дифференцирование функции (строка "Дифференциалы"); -произвести интегрирование функции (строка "Интеграция"); -разложить функцию в степенной ряд Маклорена (строка "Разложить на составляющие"); -разложить функцию на элементарные дроби (строка "Преобразовать в частичные доли"). При обращении к подменю "Матрица" следует обрамить рамкой все выражение. Это подменю позволяет осуществить транспонирование и обращение (инвертирование) матрицы и найти ее определитель. При обращении к подменю "Преобразования" можно произвести прямое и обратное преобразования: Фурье, Лапласа и типа Z.

Примеры, относящиеся к данному правилу, рассматриваются ниже. Сведем в табл. 1 шесть сформулированных правил по реализации численного и символьного методов решения разнообразных математиче-ских задач в среде «Mathcad».

№ правила
Обращение

Знак

равенства

Вид

результата

1
К панелям математических инструментов из меню "Вид": "Арифметика", "Матрицы" и "Математический анализ"
 =
Число
2
К встроенным функциям f(x) из меню "Вставка"
 =
Число
3
С помощью клавиатуры

 =

shift F9

Число

Символ

4
К математической панели инструментов "Символы"
 →

Символ

Число

5
К меню "Символы", подменю "Расчеты"

Символ
6
К меню "Символы", подменю "Перемен-ные", "Матрица", "Преобразования"

Символ


Редактирование программы

Простое редактирование программы предусматривает выполнение следующих операций: удаление некоторых выражений, их копирование и перенос в другое место программы, а также вписывание определенных текстовых комментариев. Рассмотрим процедуру исполнения названных операций.

Удаление математических выражений.

Удаление отдельных символов осуществляется с помощью клавиши «Backspace».При этом визир следует установить после удаляемого символа.
Удаление одного математического выражения, например уравнения, осуществляется следующим образом. Сначала следует с помощью левой клавиши мыши очертить это выражение пунктирной линией, превращающейся затем в сплошную линию после снятия пальца с этой клавиши.
Затем необходимо нажать на клавишу «Backspace», после чего все выражение будет выделено (затемнено) и вновь нажать на клавишу «Backspace» или «Del». Выделение удаляемого выражения можно также осуществить путем протаскивания вдоль него курсора, после чего следует нажать на клавишу «Backspace» или «Del».
Одновременное удаление двух и более математических выражений можно осуществить следующим образом. Сначала следует с помощью левой клавиши мыши очертить всю удаляемую группу выражений пунктирной линией, после чего каждое из удаляемых выражений будет окружено пунктирной линией.
Следующее действие может быть осуществлено одним из трех способов:
  • или путем нажатия на клавишу «Backspace» или «Del»;
  • или путем обращения к команде "Вырезать" на стандартной линейке или "Удалить" в меню "Правка";
Одновременное удаление двух и более математических выражений можно осуществить следующим образом. Сначала следует с помощью левой клавиши мыши очертить всю удаляемую группу выражений пунктирной линией, после чего каждое из удаляемых выражений будет окружено пунктирной линией.
Следующее действие может быть осуществлено одним из трех способов:
  • или путем нажатия на клавишу «Backspace» или «Del»;
  • или путем обращения к команде "Вырезать" на стандартной линейке или "Удалить" в меню "Правка";
  • или нажатием на правую клавишу "мыши", после чего появляется дополнительное окно, в котором есть строка "Вырезать".
Копирование математических выражений. Сначала по аналогии с предыдущим действием необходимо с помощью левой клавиши мыши очертить всю копируемую группу выражений пунктирной линией, после чего каждое из них будет окружено пунктирной линией.
Второе действие может быть осуществлено одним из двух способов: или путем обращения к команде «Копировать» на стандартной линейке ::* или в меню "Правка";
  • или нажатием на правую клавишу "мыши", после чего появляется дополнительное окно, в котором есть строка «Копировать».
Затем следует перевести курсор на то место в рабочей области, куда следует поместить копируемый материал, и выполнить третье действие одним из двух способов:
  • или путем обращения к команде "Вставить" на стандартной линейке или в меню "Правка";
  • или нажатием на правую клавишу, после чего появляется дополнительное окно, в котором есть строка "Вставить".
При копировании отдельного выражения первое из названных действий (выделение) можно осуществить протаскиванием курсора вдоль копируемого выражения, после чего следует выполнить два других действия.

Перенос математических выражений

1-й вариант: аналогичен копированию выражений с заменой опции «Копировать» опцией «Вырезать».
2-й вариант. Сначала по аналогии с предыдущим действием необ-ходимо с помощью левой клавиши мыши очертить всю копируемую группу выражений пунктирной линией, после чего каждое из них будет окружено пунктирной линией. Затем следует подвести курсор-стрелку к любой из пунктирных линий и дождаться преобразования курсора в изображение кисти руки. Далее, не снимая пальца с левой клавиши мыши, следует перетянуть всю группу выражений в требуемое место рабочий области. При перетягивании курсор примет вид стрелки с прямоугольником.

Вписывание в программу текстовых комментариев.

Данная операция осуществляется под руководством текстового редактора. После ввода с клавиатуры символа " (кавычки) в месте нахождения красного визира появляется прямоугольник, в который и вводится требуемый текст в полном соответствии с правилами работы редактора «Word». Редактирование введенного текста может быть осуществлено с помощью подменю «Текст» меню «Формат» и опций, вынесенных на линейку "Форматирование".
Удаление, копирование и перенос текстовых комментариев осуществляется по той же методике, что и математических выражений.
В некоторых версиях «Mathcad» для вводимого текста возможно использование только латинского алфавита.

Построение графиков

Построение графиков в составляемой программе на основе исходных данных или результатов вычислений осуществляется в среде «Mathcad» под руководством графического редактора. При построении графиков можно воспользоваться инструментальной панелью "График" из меню "Вид" или подменю Трафик" в меню «Вставка». С их помощью можно построить двухмерные графики в декартовой и полярной системе координат, трехмерные и точечные графики, векторное поле и гистограммы.

Рассмотрим сначала на конкретном примере методику построения двухмерного графика декартовой системе координат. Пример 1. Требуется построить график функции:

в пределах изменения аргумента t от 0 до 5 при Вызываем панели "Арифметика" и "Греческий алфавит". В рабочей области тестового окна в месте установки красного визира записываем согласно правилам «Mathcad» исходные данные и функцию.Вызываем панель "График", щелчок по пиктограмме "Декартов гра-фик", в месте установки красного визира появляется прямоугольная рамка с осями абсцисс и ординат. График должен располагаться ниже формулы.

17.png
Ha месте черного квадратика, расположенного внизу оси абсцисс, вписываем имя аргумента - t,a слева от оси ординат - имя функции Y(t).

После щелчка вне прямоугольной рамки происходит автоматическое построение графика. Устанавливаем требуемые крайние значения аргумента по оси абсцисс (0...5) и функции по оси ординат(-10...10).

Установив курсор внутри прямоугольной рамки, двумя щелчкам ле-вой клавиши "мыши" вызываем диалоговое окно, позволяющее выбирать вид масштаба по осям (равномерный или логарифмический); количество вспомогательных линий координатной сетки; толщину, вид и цвет графика.

В результате получаем график заданной функции, представленный на рис. Пример 2. Требуется построить график полинома Чебышева 1-го рода 6-го порядка: в пределах изменения аргумента х от -2 до +2. Вызываем панель Арифметика" В рабочей области тестового окна в месте установки красного визира записываем согласно правилам «Mathcad» исходную функцию (рис. 4).

Вызываем панель "График4, щелчок по пиктограмме "Декартов график", в месте установки красного визира появляется прямоугольная рамка с осями абсцисс и ординат. График должен располагаться ниже формулы.
На месте черного квадратика, расположенного внизу оси абсцисс, вписываем имя аргумента - х, а слева от оси ординат - имя функции F(x).После щелчка вне прямоугольной рамки происходит автоматическое построение графика. Устанавливаем требуемые крайние значения аргумента по оси абсцисс и функции по оси ординат.
18.png

Установив курсор внутри прямоугольной рамки, двумя щелчкам левой клавиши "мыши" вызываем диалоговое окно: выбираем логарифмический масштаб по оси ординат; количество линий координатной сетки; толщину, вид и цвет графика. Строим два графика заданной функции: при равномерном и логарифмическом масштабе по оси ординат.

19.png

Пример 3. Требуется построить в полярной системе координат график функции эллипса: при значении большой оси а=5 и эксцентриситета е=0,8.

Вызываем панели "Арифметика" и "Греческий алфавит". В рабочей области тестового окна в месте установки красного визира записываем согласно правилам «Mathcad» исходные данные и функцию.Вызываем панель "График", щелчок по пиктограмме "Полярные координаты", в месте установки красного визира появляется окружность. График должен располагаться ниже формулы. На месте черного квадратика, расположенного внизу окружности, вписываем имя аргумента - 0, а слева - имя функции R(0).

После щелчка вне прямоугольной рамки происходит автоматическое построение графика в полярной системе координат. Установив курсор внутри прямоугольной рамки, двумя щелчкам левой клавиши "мыши" вызываем диалоговое окно, позволяющее выбирать вид масштаба по осям (равномерный или логарифмический); количество вспомогательных линий координатной сетки; толщину, вид и цвет графика. В результате получаем график заданной функции на рис.

20.png
Отметим, что в пределах одной сетки координат можно построить до 6 разных графиков. Построение других видов графиков с помощью инструментальной панели "Графика" осуществляется по методике, аналогичной описанным в рассмотренных примерах.

Удаление, копирование и перенос графиков осуществляется по той же методике, что и математических выражений. Изменение размера графика осуществляется путем протаскивания курсора, установленного на обрамляющей его рамке.

Разложение функции в степенной ряд

Основные определения. При решении многих научно-технических задач прикладного свойства возникает необходимость в представлении определенной функции F(x) в виде степенного ряда:

или при

где - действительные или комплексные числа. В одних случаях число членов ряда конечно, в других - бесконечно. Примерами функций, разлагающихся в конечный ряд, являются:

- бином Ньютона,


- при любом целом n,


- при нечетном и целом n,


- при четном и целом n.


Разложение функции в степенной ряд в среде «Mathcad».

Возможны два способа разложения функции F(x) в степенной ряд согласно и в среде «Mathcad»:

  • с помощью методов символьной математики путем обращения к меню "Символ", подменю "Переменные" согласно правилу 6;
  • с помощью инструментальной математической панели "Символы" согласно правилу 4.

Решение по правилу 6.

После записи функции F(x), разлагаемой в степенной ряд, в ней необходимо выделить (затемнить 0 ) в любом члене один символ - переменную х - путем протаскивания курсора.

Само разложение функции в степенной ряд осуществляется путем обращения к опции "Разложить на составляющие" в меню "Символ", подменю "Переменные". После щелчка появляется окно, в котором следует установить порядок аппроксимации, т. е. наивысшую степень n степенного ряда . Примеры такого разложения приведены на рис.

23-12.png
24.png

Первый пример показывает, как можно упорядочить многочлен, сгруппировав в нем переменные, относящиеся к переменной одной и той же степени, два следующих - разложение функций в степенной ряд при конечном числе членов. В примерах 4 и 5 показано разложение в ряд Маклорена с ограничением числа членов. Появляющаяся в конце ряда член указывает на то, что при разложении функции учитываются только члены переменной со степенью включительно по .

Решение по правилу 4. Записываем функцию F(x), разлагаемую в степенной ряд, и с помощью курсора обрамляем ее пунктирной линей, после чего вызываем инструментальную панель "Символы" и щелчком функцию series. На рабочем листе появляется запись:

В первое окошко вписываем имя переменной, во второе - наивысшую степень члена n+1 в проводимом разложении функции в степенной ряд. Запись приобретает вид:

После щелчка получаем результат. При разложении в степенной ряд функций типа бином Ньютона можно воспользоваться также функцией expand на той же панели "Символы". Запись при этом имеет вид:

Примеры расчета по правилу 4 приведены на рис. Отметим, что результаты расчета по обоим способам совпадают.

Разложение функции на элементарные дроби

Основные определения. Любое отношение двух функций, представляющих собой многочлены:

где , может быть представлено в виде суммы элементарных дробей, соответствующих корням многочлена . Разложение функции на элементарные дроби в среде «Mathcad». После записи функции , разлагаемой на дроби, в ней необходимо выделить (затемнить) в любом члене один символ - переменную х - путем протаскивания курсора. Само разложение функции на элементарные дроби осуществляется путем обращения к меню "Символ", подменю "Переменные", опции "Преобразование в частичные доли" согласно правилу 6. После щелчка на рабочем листе появляется результат разложения функции в виде суммы элементарных дробей. Примеры такого разложения приведены на рис.

26.png
27.png

В обоих примерах после разложения на дроби проводится проверка полученного результата для произвольно выбранных частных случаев: рассчитывается значение исходной функции и после ее разложения на дроби. Во всех случаях результаты в точности совпадают.

Комплексные числа

Возможны два способа преобразования и вычисления математических выражений, содержащих комплексные числа, в среде «Mathcad».

-путем обращения к разделу "Комплексные числа" в подменю встроенные функции меню "Вставка" согласно правилу 2 в сочетании с инструментальной панелью "Арифметика";
-с помощью методов символьной математики путем обращения к инструментальной математической панели меню "Символ" согласно

правилу 4. При обоих методах в начале программы следует ввести обозначение комплексной единицы:

или

Решение по правилу 2. С помощью данного способа можно произвести все действия с комплексными числами: их суммирование, умножение, деление, возведение в степень, выделение действительной и мнимой частей, определение модуля и аргумента, преобразование из одной формы комплексного числа в другую. Так для определения действительной части комплексного числа следует обратиться к функции в разделе "Комплексные числа", мнимой части , аргумента , отношения комплексного числа к его модулю , где модуль комплексного числа определяется как

Примеры перечисленных действий с комплексными числами с помощью данного способа приведены на рис.

Решение по правилу 2. При данном способе сначала записывается комплексное выражение, подлежащее преобразованию. Затем путем обращения к инструментальной математической панели "Символы" вызывается ключевое слово "complexh. Запись приобретает вид:

После щелчка вне рамки записи автоматически появляется результат в алгебраической форме комплексного числа. Примеры перечисленных действий с комплексными числами с помощью данного способа приведены на рис.

30.png
31.png

Матричные вычисления

Аппарат матриц имеет большое практическое приложение при анализе сложных явлений и устройств, характеризуемых большим количеством параметров и разветвленными связями, позволяя описать их в компактной и удобной форме. Матричные вычисления, в первую очередь, связаны с решением системы линейных алгебраических и дифференциальных уравнений, позволяя построить оптимальные алгоритмы их решения. Матрицы применяются при анализе и синтезе сложных электронных устройств, в системах передачи электроэнергии, в разветвленных системах водоснабжения и водоотведения и других случаях. Возможны пять способов действий с матрицами и векторами в среде «Mathcad»:
  • преобразования и операции с помощью инструментальной математической панели "Вектор и матрица" согласно правилу 1;
  • преобразования, главным образом формирование и подсчет характеристик, путем обращения к разделу "Вектор и матрица" в подменю f(x) меню согласно правилу 2;
  • преобразования и операции путем обращения к меню "Символ", подменю "Матрица" согласно правилу 6;
  • преобразования и операции путем обращения к меню "Символ", подменю "Расчеты" согласно правилу 5;
  • преобразования и операции с помощью инструментальной математической панели "Символы" согласно правилу 4.

Два первых метода оперируют с числами, три других - как с числами, так с переменными величинами в рамках символьной математики. При всех способах матричные вычисления начинаются с открытия рабочего листа и записи в него матриц с использованием инструментальной математической панели "Матрица". Вносимые в матрицу коэффициенты могут быть действительными или комплексными числами или переменными величинами в зависимости от выбранного способа вычислений. Имя матрицы и вектора может быть любым, например, А, В1, СМ5.

Сама матрица или вектор вызываются путем щелчка на панели инструментов по кнопке "Матрица", после чего появляется окно, в котором необходимо указать, какое количество строк и столбцов должна иметь формируемая матрица или вектор. После ввода необходимых чисел или переменных и команды "ОК" или "Вставить" на экране появляется матрица, в ячейки которой вводятся заданные числа или величины. Так, например, при формировании матрицы размером 3x3 она будет иметь вид:

а при формировании вектора

Поскольку по умолчанию координаты векторов, строк и столбцов нумеруются , начиная с 0, то первый столбец матрицы А обозначается как второй - как третий - как

При необходимости начать нумерацию с 1 перед матрицей или век-тором вводится ключевое слово ORIGIN:=1. При этом первый столбец матрицы А обозначается как , второй - как и т.д. Нумерация элементов матрицы в этом случае имеет вид: и т.д., а нумерация элементов вектора В примет вид: и т.д.

Рассмотрим применение всех способов обращения с матрицами на примерах.

Действия по правилу 1. Операции транспонирования и обращения матрицы осуществляются путем обращения к соответствующим кнопкам инструментальной математической панели "Матрица". На рис. приведены матрицы, в которых в одном случае элементы являются действительными числами (матрица А), в другом - комплексными (матрица А). Далее показаны операции транспонирования (to transpose) и обращения или инверсии (inversion) обеих матриц. Правильность операции проверяется путем получения единичной матрицы.На рис. показаны также операции умножения и суммирования матриц, выделения элемента и столбца матрицы и вычисление определителя.


34.png
35.png
36.png

С помощью той же инструментальной математической панели "Матрица", обратившись к соответствующим кнопкам, можно вычислить скалярное и векторное произведение двух векторов в прямоугольной декартовой системе координат. Примеры таких вычислений представлены на рис.

37.png

Операции по правилу 2. Обращаемся к пиктограмме "Встроенная функция f(x)" на 2-й строке текстового окна - стандартной линейке. На появившемся после щелчка диалоговом окне в разделе "Категория функций" выбираем строку с надписью "Вектор и матрица", после чего предлагается большой набор разных функций, связанных с формированием матрицы или расчетом ее характеристик. На рис. приведены примеры использования некоторых из них:

diag - формирует диагональную матрицу, элементы главной диагонали которой предварительно собраны в векторе V;
identity - формирует диагональную единичную квадратную матрицу размера ПхП;
cols - подсчитывает число столбцов в матрице;
max - вычисляет элемент матрицы, имеющей наибольшее значение;
min - вычисляет элемент матрицы, имеющей наименьшее значение;
rank - определяет ранг квадратной матрицы.

Использование функции Isolve из категории "Вектор и матрица" для решения системы линейных алгебраических уравнений рассматривается ниже.

38.png

Операции по правилу 6. С помощью данного способа можно осуществлять как преобразования, так и вычисления матриц с элементами, представленными в виде переменных величин и чисел. После записи матрицы, подлежащей преобразованию, ее необходимо с помощью курсора обрамить пунктирной линией или выделить (затемнить) путем протаскивания курсора. Затем следует обратиться к меню "Символ", подменю "Матрицы" и выполнить одну из трех возможных опций: инвертирование (обращение), транспонирование или вычисление определителя. После щечка на рабочем листе появляется результат в виде вновь сформированной матрицы или определителя, располагаемые под исходной. Примеры выполнения данных операций приведены на рис.

38-1.png
39.png

Операции по правилу 5. После записи группы матриц, связанных определенными знаками математических операций (например, умножение или суммирование), их необходимо с помощью курсора обрамить пунктирной линией или выделить (затемнить) путем протаскивания курсора. Затем следует обратиться к меню "Символ", подменю "Расчеты", опция "символические". После щечка на рабочем листе появляется результат в виде вновь сформированной матрицы, располагаемой под исходной записью. Примеры выполнения данных символьных вычислений приведены на рис.

39-1.png

Операции по правилу 4. С помощью данного способа можно осуществлять преобразования, как одной, так сразу и группы матриц, связанных определенными знаками математических операций (например, умножение или суммирование) с элементами, представленными в виде переменных величин и чисел. После записи матрицы, подлежащей преобразованию, ее необходимо с помощью курсора обрамить пунктирной линией или выделить (затемнить) путем протаскивания курсора. В случае группы матриц их следует заключить в общие скобки и всю запись обрамить пунктирной линией. Затем следует обратиться к инструментальной математической панели "Символы" и вызывать одно из трех ключевых слов: —►(транспонирование), —► инвертирование) или —► (определитель). После щелчка по выбранному ключевому слову запись принимает вид —►.

41-12.png
42.png

Методы решения системы линейных уравнений в среде «Mathcad».

Возможны два способа нахождения решений системы линейных уравнений в среде «Mathcad» при определителе :

  • по формуле с помощью инструментальной математической панели "Матрица" согласно правилу 1;
  • с помощью встроенной функции Isolve в подменю f(x) меню "Вставка" согласно правилу 2.

Открываем рабочий лист и согласно уравнениям с использованием инструментальной математической панели "Матрица" записываем в разделе "Data" матрицу коэффициентов [А] и вектор правых частей уравнений [В]. В качестве примера рассматриваем решение системы из 5-ти линейных уравнений с 5-ю неизвестными.

Решение по правилу 1. С помощью панели "Матрица" записываем формулу и введя вектор искомых решений со знаком равенства Х= , получаем результат.

Решение по правилу 2. Вводим имя вектора искомого решения и знак присвоения: , после которого размещаем красный визир . Обращаемся к пиктограмме "Встроенная функция f(x)" на 2-й строке текстового окна - стандартной линейке. На появившемся после щелчка диалоговом окне в разделе "Категория функций" выбираем строку с надписью "Решение", а в разделе "Название функции" - Isolve. После нажатия на кнопку "ОК" или "Вставить" на рабочем листе появляется название данной функции с двумя черными прямоугольниками, которые следует заполнить:

.

(Заменяем вектор X на Y, чтобы получить отличие по сравнению с 1-м случаем). В 1-е окошко вписываем имя матрицы коэффициентов А, во 2-е - имя вектора В. Запись приобретает вид:

.


После ввода "" получаем результат в виде вектора.

Из данного примера видно, как можно быстро, при записи всего одной строчки, получить в среде «Mathcad» решение даже при увеличенном числе линейных уравнений.

44.png

Числовые ряды

Основные определения.

Числовым рядом называется выражение, составленное из бесконечной последовательности чисел:

- частичная сумма ряда.

При существовании предела при ряд называется сходящимся, при отсутствии такого предела - расходящимся.

Определение суммы ряда в среде «Mathcad». Частичная сумма ряда может быть вычислена с помощью инструментальной математической панели "Вектор и матрица" согласно правилу 1, полная - с помощью инструментальной математической панели "Символы" согласно правилу 4 или путем обращения к меню "Символ", подменю "Расчеты" согласно правилу 5. Примеры расчета по всем трем способам суммы и произведения членов ряда приведены на рис.

45.png
46.png

Язык «Mathcad» предлагает несколько способов организации такого циклического расчета. Самый простой из них состоит в использовании оператора цикла «», пиктограмма которого расположена на математической панели инструментов "Матрица". После вызова щелчком этого оператора в него следует ввести значения нижнего и верхнего пределов:

где - дискретно на 1 изменяемый параметр, последовательно принимающий целые значения от целых до . Заметим, что при все значения функции при принимают значения, равные 0. Аргумент при циклическом расчете изменяется с "шагом" (дискретом) Δ, значение которого может быть выбрано любым.

Приведем пример такого циклического расчета.

Рассчитать с дискретом затухающий колебательный процесс, описываемый функцией , приведенной на рис.

Сначала строим график непрерывной функции .Организуем цикл расчета с помощью записи и выражений для аргумента и дискретной функции , полученной из непрерывной функции . Строим график дискретной функции . Вывод в виде таблицы дискретных значений осуществляется путем записи или . По умолчанию на рабочий лист выводится 16 значений функции. Щелкнув по графику функции, обрамляют ее рамкой и путем протаскивания вниз курсора расширяют таблицу до любого требуемого значения .

48.png
49.png

При протаскивании курсора вверх таблица наоборот сжимается. Таким же образом можно вывести и таблицу значений аргумента, сделав в рассматриваемом случае запись При зависимости функции от двух аргументов можно организовать циклический расчет, "вложив" один цикл в другой. Циклический расчет можно также организовать с помощью операторов "for" и "break", пиктограммы которых расположены на инструментальной математической панели "Программирование". Оператор Add Line, служащий для расширения программного блока, отображается в виде вертикальной черты.

Дифференцирование функций

Возможны пять способов дифференцирования функций в среде «Mathcad» :

  • с помощью инструментальной математической панели "Матанализ" ("Исчисление") согласно правилу 1,
  • с помощью инструментальной математической панели "Символы" согласно правилу 4,
  • путем обращения к меню "Символы", подменю "Расчеты", строка "Символические" согласно правилу 5;
  • путем обращения к меню "Символы", подменю "Переменные", строка "Дифференцирование" согласно правилу 6;
  • с помощью клавиатуры согласно правилу 3.

Первый способ оперируют с числами, второй и пятый - с переменными и числами, третий и четвертый - с переменными величинами в рамках символьной математики. При всех способах дифференциальные вычисления начинаются с открытия рабочего листа и записи в него оператора дифференцирования с использованием инструментальной математической панели "Матанализ" или клавиатуры. Затем в оператор вписываются переменная, по которой производится дифференцирование, и сама функция. Далее дается команда на исполнение согласно приведенным выше правилам. С помощью клавиатуры ввод оператора 1-ой производной осуществляется нажатием двух клавиш « shift + ?» , ввод оператора n-ой производной - нажатием трех клавиш: «ctrl+shift+?», исполнение символьных операций дифференцирования - нажатием двух клавиш:«shift+F9». Обратите внимание, что при вычислениях по правилам 4 и 5 вводится оператор дифференцирования, поскольку здесь выполняются расчеты в соответствии с произведенной записью. При вычислениях по правилу 6 вводится только сама функция, у которой находится производная, поскольку здесь процедура дифференцирования предусмотрена в самом алгоритме производимых символьных вычислений по команде "Дифференцирование".

51.png
52.png
53.png
54.png

Особое место занимает определение производной в точке , в которой значение функции можно вычислить только, воспользовавшись понятием предела:

а значение производной в той же точке с помощью другого предела:

Примером такой функции является: . Численные значения функции и ее производной в точке могут быть найдены с помощью оператора lim , пиктограмма которого расположена на математической панели инструментов "Матрица". Сначала целесообразно построить график функции , позволяющий наглядно представить себе ее поведение в точке . Расчеты по формулам и можно выполнить руководствуясь правилом 4 с помощью символьного знака равенства расположенного на панели "Символы". Два примера такого расчета приведены на рис.

56-1.png
56-2.png

Интегрирование функций

Возможны четыре способа определения неопределенного интеграла символьного вида в среде «Mathcad» :

  • с помощью инструментальной математической панели "Символы" согласно правилу 4,
  • путем обращения к меню "Символы", подменю "Расчеты", строка "Символические" согласно правилу 5;
  • путем обращения к меню "Символы", подменю "Переменные", строка "Интегрирование" согласно правилу 6;
  • с помощью клавиатуры согласно правилу 3 , и два численных способа - для определенного интеграла:
  • с помощью инструментальной математической панели "Матанализ" ("Исчисление") согласно правилу 1,
  • с помощью клавиатуры согласно правилу 3.

При всех способах интегральное исчисление начинаются с открытия рабочего листа и записи в него оператора интегрирования с использованием инструментальной математической панели "Матанализ" или клавиатуры. Затем в оператор вписываются переменная, по которой производится интегрирование, и сама функция. Далее дается команда на исполнение согласно приведенным выше правилам. С помощью клавиатуры ввод знака неопределенного определенного интеграла осуществляется нажатием двух клавиш:«ctrl+I», определенного интеграла - нажатием двух клавиш: «shift + &» , исполнение операций интегрирования - нажатием двух клавиш:«shift+F9». Примеры символьного вычисления неопределенного интеграла тремя способами приведены на рис.

57.png
58-1.png

Обратите внимание, что при вычислениях по правилам 4 и 5 вводится оператор интегрирования, поскольку здесь выполняются расчеты в соответствии с произведенной записью.При вычислениях по правилу 6 вводится только подынтегральная функция, поскольку здесь процедура интегрирования предусмотрена в самом алгоритме производимых символьных вычислений по команде "Интеграция".

Примеры вычисления определенного интеграла первым способом приведены на рис. Все примеры сопровождены проверкой (chek-up).

58-2.png
59.png

Прямое и обратное преобразования Лапласа

Основные определения. Изображением или прямым преобразованием по Лапласу заданной функции-оригинала называется функция комплексной переменной (в других случаях обозначается буквой ), определяемая выражением:

Функция при и удовлетворяет неравенству , где - некоторые положительные постоянные. По изображению можно найти оригинал функции . Такая операция называется обратным преобразованием Лапласа:


Приведем три примера прямого преобразования Лапласа: Изображение ступенчатой функции:

при и при есть

Изображение 1-й производной функции-оригинала:

Изображение интеграла от функции-оригинала:

Преобразования Лапласа лежат в основе операторного метода решения обыкновенных дифференциальных уравнений, состоящим в переходе от уравнения для неизвестной функции к вспомогательному, алгебраическому уравнению для ее изображения. Решив это уравнение, переходят согласно обратному преобразованию Лапласа от изображения к оригиналу функции. Прямое и обратное преобразования Лапласа в среде «Mathcad». Такие преобразования можно выполнить путем обращения к меню "Символы", подменю "Преобразования", опции "Лаплас" и "Лаплас обратный" согласно правилу 6. При прямом преобразовании в записанной функции-оригинале следует выделить (затемнить) один знак - переменную (в рассматриваемых ниже примерах это время t). При обратном преобразовании в записанной функции-изображении следует выделить (затемнить) так же один знак - комплексную переменную s. Примеры прямого преобразования Лапласа по переходу от оригинала к изображению функции приведены на рис. Для примера 5 построен график функции-оригинала.

60.png
61.png

Примеры обратного преобразования Лапласа по переходу от изображения функции к ее оригиналу приведены на рис.

61-2.png
62-1.png
62-2.png

В обоих примерах построены по два графика функции-оригинала. Эти графики в случае электрической цепи отображают входной и и выходной и сигналы.

Прямое и обратное преобразования Фурье

Основные определения. Прямым преобразованием Фурье является интеграл:

определяющий спектральную плотность функции . Обратным преобразованием Фурье, позволяющим найти исходную функцию по ее спектральной плотности, является интеграл:

Одним из условий применимости преобразования Фурье является абсолютная интегрируемость подынтегральной функции в . Прямое и обратное преобразования Фурье в среде «Mathcad». Такие преобразования можно выполнить путем обращения к меню "Символы", подменю "Преобразования", опции "Фурье" и "Фурье обратный" согласно правилу 6. При прямом преобразовании в записанной функции-оригинале следует выделить (затемнить) один знак - переменную (в рассматриваемом ниже примере это время t). При обратном преобразовании в записанной функции - спектральной плотности - следует выделить (затемнить) так же один знак - частоту . Пример прямого преобразования Фурье по определению спектральной плотности для экспоненциальной функции приведен на рис. Там же построены графики самой функции и ее спектральной плотности.

64.png
65.png

Следует отметить ограниченные возможности по прямому и обратному преобразования Фурье по правилу 6. В большинстве случаев для определения спектральной плотности приходится составлять небольшую программу, связанную с расчетом определенного интеграла .

Решение системы нелинейных дифференциальных уравнений

Математическая модель множества устройств, технических систем и процессов, протекающих в природе, несмотря на их физические различия может быть представлена как нелинейная динамическая структура, описываемая в виде системы из n нелинейных дифференциальных уравнений:

"Mathcad" предоставляет несколько встроенных функций по численному решению системы из n нелинейных дифференциальных уравнений: Рассмотрим две из встроенных функций: rkfixed и Rkadapt, позволяющие найти решение данной системы нелинейных дифференциальных уравнений по методу Рунге-Кутта 4-го порядка. Для поиска решения в обоих случаях необходимо задать:

начальные условия при в виде
значения всех постоянных коэффициентов,
набор точек, в которых следует найти решение.

В функцию rkfixed входят следующие параметры:

- вектор начальных условий с размерностью, соответствующей порядку к дифференциального уравнения или числу уравнений первого порядка;
- граничные значения интервала, на котором ищется решение;
- число фиксированных шагов или точек, в которых ищется приближенное решение;
- вектор, в котором записаны правые части дифференциальных уравнений.

В результате решения получается матрица, содержащая столбцов и строчек. В 1-м столбце содержатся фиксированные значения аргумента, ; во 2-м - соответствующие им значения искомой функции , в 3-м - значения первых производных в тех же узлах и т.д. Функция Rkadapt имеет те же параметры, что и rkfixed , но несколько отличается от нее алгоритмом поиска решения. Если функция rkfixed ищет приближенное решение с постоянным шагом, то с помощью функции Rkadapt осуществляется адаптивный контроль этого процесса: с более мелким шагом при быстром изменении функции и более крупном - при медленном.

О задачах оптимизации

Оптимизация относится к классу задач нелинейного программирования. Сущность процесса оптимизации сводится к поиску наилучшего решения определенной задачи - характеристик устройства или процесса - согласно выбранному критерию. При этом обычно составляется функция цели, в концентрированном виде отражающая смысл искомого решения. Далее осуществляется поиск комбинации варьируемых параметров, обеспечивающих максимум или минимум (в зависимости от поставленной задачи) функции цели. "Mathcad" предоставляет несколько встроенных функций по задачам оптимизации. Рассмотрим две из них: Maximize и Minimize, из подменю "Встроенные функции", категории "Решения".

Функции Maximize, где - функция цели - варьируемые параметры объекта оптимизации, осуществляет поиск параметров, соответствующих максимуму функции .

Функция Minimize осуществляет поиск параметров, соответствующих минимуму функции . В обеих функциях использованы алгоритмы оптимизации, не требующие вычисления производных функции. В программе должна указываться точка многомерного пространства откуда начинается поиск оптимального решения и пределы изменения варьируемых параметров, которым предшествует ключевое слово "Given". Обе функции возвращают найденную оптимальную комбинацию варьируемых параметров в виде вектора. Рекомендуется сделать несколько циклов поиска оптимальных значений варьируемых параметров путем разного задания исходных точек поиска, поскольку функции Maximize и Minimize ищут локальное, а не глобальное значения экстремума функции цели.

Статистические вычисления

Статистические вычисления в среде "Mathcad" проводятся по следующим основным направлениям:

  • расчету статистических параметров массива случайной последовательности чисел: среднего значения, дисперсии, коэффициента корреляции и т. д.;
  • расчету различных законов плотности распределения вероятности (нормального, равномерного, биноминального, экспоненциального и др.);
  • расчету функций распределения вероятности (нормального или Лапласа, биноминального, Пуассона, Стьюдента, равномерного и др.);
  • генерированию случайной последовательности чисел с разным законом распределения вероятностей.

Рассмотрим более подробно данные направления - категории, представленные в виде функций в подменю "Встроенные функции", обращение к которым осуществляется согласно правилу 2.

Категория "Статистика" в подменю "Встроенные функции" f(x). Пусть в результате сбора сведений самого разнообразного свойства, например, экономического характера или как результат определенных измерений, получен длинный ряд значений: . В случае нормального закона распределения полученного массива чисел можно вычислить, например, следующие обобщенные статистические параметры.

путем обращения к функции mean, где есть матрицы, в которые собраны массивы обрабатываемых чисел.

Дисперсию массива чисел

путем обращения к функции var. Среднеквадратичное значение массива чисел путем обращения к функции stdev. Коэффициент корреляции двух массивов и путем обращения к функции corr и другие параметры. Пример расчета данных параметров приведен на рис.

70.png

Категория "Плотность вероятности" в подменю "Встроенные функции" f(x). Покажем на примере нормального распределения расчет плотности распределения вероятности, описываемой зависимостью:

где - среднее значение случайной величины, - её среднеквадратическое значение.

Расчет зависимости осуществляется путем обращения к функции dnorm. Пример ее расчета с выводом таблицы дискретных значений и графиком приведен на рис.

71.png

Категория "Распределение вероятности" в подменю "Встроенные функции" f(x). Функция распределения вероятности есть определенный интеграл от плотности вероятности:

где a - возможное значение х. Вычисленное значение есть вероятность того, что случайная величина . При интеграл . Расчет интеграла (38) при нормальном законе распределения осуществляется путем обращения к функции pnorm, где , - соответствуют . Пример такого расчета с выводом таблицы дискретных значений и графиком приведен на рис.. На нем же произведена проверка правильности произведенного вычисления путем непосредственного расчета согласно , .


72.png

В тех случаях, когда значение х может принимать только положительные значения, например, при вычислении ошибки измерений по абсолютной величине, интеграл принимает вид:

Вычисленное значение есть вероятность того, что случайная величина . При интеграл . При интегралы и связаны соотношением:

При и нормированном значении верхнего предела выражение называется интегралом вероятностей или функцией Лапласа. С учетом и для данного интеграла получим:

где - нормированное значение верхнего предела. Заметим, что в других случаях при интегралом вероятностей называют:

Функция , т. е. при и . В справочниках по теории вероятности приводится таблица значений интеграла вероятностей или , связанных соотношениями:

Расчет интегралов вероятности и с выводом таблицы дискретных значений и графиками, приведен на рис.

74-1.png
74-2.png

Категория "Случайные числа" в подменю "Встроенные функции" f(x). При моделировании определенных процессов часто возникает необходимость в создании массива чисел, подчиняющихся определенному статистическому закону. Такая задача может быть решена путем обращения к функциям категории "Случайные числа", с помощью которых возможна генерация последовательности случайных чисел, подчиняющихся выбранному закону распределения вероятностей. Приведем три примера таких функций.

  • rnorm генерирует случайную последовательность М чисел, подчиняющихся нормальному закону распределения;
  • runf генерирует случайную последовательность М чисел, имеющих равномерное распределение внутри интервала, заключенного между граничными значениями ;
  • rnd генерирует случайную последовательность М чисел, имеющих равномерное распределение внутри интервала, заключенными между граничными значениями .

Пример расчета по данным функциям приведен на рис. Для последнего примера построена диаграмма в полярной системе координат.

75-1.png
75-2.png

При повторном обращении к одной и той же функции автоматически происходит генерация обновленной последовательности случайных чисел. Кроме того, такое обновление может быть осуществлено после щелчка "мышью" по функции и нажатия на клавишу F9. Изменение стартового значения в генерируемой последовательности осуществляется путем обращения к подменю "Параметры" в меню "Математика" и изменения цифры в строке "Начальная величина для случайных чисел".

Специальные функции

Особый раздел в математике занимают специальные классы функций, встречающиеся при интегрировании уравнений математической физики. Так например, с решением определенного класса линейных одно-родных уравнений второго порядка связаны ортогональные многочлены Чебышева, Лежандра, Эрмита, Лагера. В другом случае решением линейного дифференциального уравнения, описывающего колебательные процессы, являются функции Бесселя. В третьем случае специальная функция есть определенный интеграл от некоторой функции. Таким примером может служить гамма-функция:

«Mathcad» предоставляет возможность быстрого вычисления некоторых специальных функций путем обращения к подменю "Встроенные функции", категория "Особые" и "Бесселя". В качестве примера наименования четырех таких функций - полиномов n-й степени - приведены в табл. С их помощью можно вычислить значение полинома при любой степени n и аргументе x. В таблице показаны также выражения данных функций при n=5.


Функция Имя в "Mathcad" Выражение при n=5
Чебышева 1-го рода Tcheb(n, x)
Лежандара Leg(n, x)
Эрмита Her(n, x)
Лагера Lag(n, x)
Бесселя 1-го рода Jn(n, x)

Графики функций, представленных в табл., при n=7 приведены на рис. На нем же построены графики функции Бесселя первого рода при .

77-1.png
77-2.png

По методике, описанной в п.14, с помощью оператора цикла можно результаты вычисления специальных функций представить в табличной форме с любым дискретным шагом. Примеры таких таблиц для функций Чебышева первого рода, Лежандра и Бесселя при n=7 приведены на рис.

78-1.png
78-2.png