Математические модели линейных одномерных звеньев тракта КПС

Материал из Национальной библиотеки им. Н. Э. Баумана
Последнее изменение этой страницы: 15:54, 14 ноября 2016.

На системотехническом уровне проектирования КПС возникает задача анализа и синтеза одномерного тракта, содержащего электронные части и сервоприводы. Прежде чем рассмотреть эту задачу на системотехническом уровне для одномерного тракта, включающего электронную часть КПС и сервоприводы, проведем классификацию входящих в них звеньев.

Общее свойство звеньев электронной части и сервоприводов любого КПС заключается в том, что они реализуют некоторую функциональную связь между одномерными входными и выходными сигналами. Эта функциональная связь математически описывается дифференциальными, интегродифференциальными или дифференциально-разностными уравнениями. Поэтому за основу классификации звеньев естественно взять вид уравнений, применяемых для их математического описания. Аналоговые звенья описываются дифференциальными уравнениями в полных производных; цифровые звенья моделируются на основе z-преобразований (см. раздел ЦОС). Аналоговые звенья подразделяются на линейные и нелинейные в зависимости от того, линейны или нелинейны уравнения, применяемые для их описания. Как линейные, так и нелинейные звенья могут относиться к одному из следующих четырех классов:

  • стационарные с сосредоточенными параметрами (первый класс),
  • стационарные с распределенными параметрами (второй класс),
  • нестационарные с сосредоточенными параметрами (третий класс),
  • нестационарные с распределенными параметрами (четвертый класс).

Непрерывные динамические элементы первого класса описываются линейными дифференциальными уравнениями в полных производных с постоянными коэффициентами; второго класса - дифференциальными уравнениями в частных производных с постоянными коэффициентами; третьего класса - дифференциальными уравнениями в полных производных с коэффициентами, являющимися функциями времени; четвертого класса - дифференциальными уравнениями в частных производных с коэффициентами, являющимися функциями времени.

Все нестационарные звенья подразделяются на звенья с детерминированными и со случайными параметрами в зависимости от того, описывается изменение параметров детерминированными или случайными функциями времени.

В одномерной части тракта современных КПС, как правило, не встречаются звенья с распределенньшш параметрами. Вопросы построения математических моделей звеньев и элементов цифровой техники достаточно подробно освещены в литературе, поэтому в дальнейшем изложении основное внимание уделено аналоговым системам и звеньям с сосредоточенными параметрами.

Рассмотрим звено, описываемое системой нелинейных дифференциальных уравнений в полных производных с переменными во времени

где функция описывает сигнал на входе звена, a - на выходе.

Пусть действующее на входе звена воздействие представляет собой -функцию, приложенную в момент времени t

Введем понятие импульсного отклика звена , являющегося решением системы уравнений при нулевых начальных условиях и при действии на входе сигнала в виде -функции. Импульсный отклик в общем случае является функцией текущего времени времени и момента времени приложения воздействия.

Поскольку любое входное воздействие можно представить как суперпозицию -функций

Для линейных стационарных и нестационарных звеньев, сигнал на выходе которых определяется интегралом суперпозиции

понятие импульсного отклика получает смысл универсальной динамической характеристики. Хотя для нелинейных звеньев принцип суперпозиции не справедлив, решение системы уравнений , определяющее сигнал на выходе нелинейного звена, как показано (в разделе, также можно выразить через импульсный отклик . Но в этом случае импульсный отклик сам по себе не является столь определяющей характеристикой, как для линейных звеньев.

Другой весьма важной характеристикой линейных звеньев является передаточная функция, которая определяется как некоторое интегральное преобразование от импульсного отклика:

где - известная функция, называемая ядром интегрального преобразования.

Частным случаем преобразования , которое используют для анализа линейных звеньев и систем в радиотехнике и теории автоматического регулирования, является преобразование Лапласа. В этом случае передаточная функция

где - ядро преобразования;
p - комплексная переменная.

Преобразование Лапласа определено лишь для функций , которые имеют конечное число точек разрыва первого рода и равных нулю при значениях аргумента , а также, если выполняется условие ограниченности роста функции , заключающееся в следующем: существуют такие числа и (показатель роста), при которых для всех справедливо неравенство

Условие равенства нулю функции при значениях ее аргумента выполняется далеко не всегда. Примером таких функций являются многомерные моменты случайного процесса, которые используются при статическом анализе систем. Поэтому наряду с преобразованием Лапласа для анализа линейных систем применяют. Передаточная функция в этом случае связана с импульсным откликом следующими соотношениями:


Как известно, Фурье-образ функции является комплексной функцией, которая может быть представлена как

где - амплитудно-частотная характеристика;
- фазочастотная характеристика.

Как будет показано ниже, для вычисления преобразования Фурье на ЭВМ разработаны алгоритмы быстрого преобразования Фурье (БПФ), которые обусловливают предпочтительно применение преобразования Фурье для анализа линейных звеньев при автоматизированном проектировании. Если подходить формально, то преобразование Фурье может быть получено из преобразования Лапласа заменой в формуле переменной на . Но при этом следует помнить, что, в отличие от преобразования Лапласа, преобразование Фурье существует для функций, которые удовлетворяют условию ограниченности (см. формулу ) лишь при показателе роста функции . В связи с этим, преобразование Фурье для ряда функций, не удовлетворяющих сформулированному условию ограниченности, может быть вычислено при замене самой функции предельным соотношением вида

При вычислении преобразования Фурье для функций, не удовлетворяющих условию ограниченности, следует выбирать таким, чтобы обеспечивалась необходимая точность вычисления.

Анализ стационарных линейных звеньев тракта. Рассмотрим линейные звенья, параметры которых не меняются во времени. Если для проведения анализа достаточно получить решение относительно одной функции , то система уравнений сводится к одному уравнению

В соответствии с общим определением импульсный отклик рассматриваемой системы является решением уравнения при нулевых начальных условиях для случая воздействия в виде -функций. Таким образом, импульсный отклик определяется из уравнения

Ввиду стационарности импульсный отклик не зависит от момента приложения воздействия () и является функцией одной переменной. Кроме того, импульсный отклик должен удовлетворять условию физической реализуемости, или условию причинности

при

и условию устойчивости

Если система образована совокупностью последовательно подключенных один к другому линейных звеньев, то нетрудно убедиться, что результирующая передаточная функция равна произведению передаточных функций, составляющих систему звеньев, и по-прежнему может быть представлена выражением .

Введем в выражение новую переменную . Тогда передаточную функцию системы можно записать следующим образом:

где и - корни числителя и знаменателя.

Пусть знаменатель выражения имеет k нулевых корней. Тогда если преобразовать сомножители числителя и знаменателя, соответствующе действительным и комплексным корням, то выражение можно представить в виде

где

а коэффициенты и являются действительными и мнимыми частями комплексных корней.

В соответствии с этой формой записи передаточной функции, содержащей шесть видов сомножителей, линейную одномерную систему можно рассматривать в общем случае как последовательное соединение шести типов элементарных структурных звеньев. Звенья, описываемые передаточными флуктуациями, соответствующими трем видам сомножителей, входящих в знаменатель, называют соответственно интегрирующими, апериодическими и колебательными. Звенья, имеющие передаточные функции, соответствующие трем видам сомножителей, входящих в числитель, называются усилительными, дифференцирующими первого порядка и дифференцирующими второго порядка.

Такое представление результирующей передаточной функции через произведение передаточных функций перечисленных выше типовых звеньев оказывается особенно удобным для решения задачи синтеза одномерных подсистем одномерного тракта КПС на системотехническом уровне, так как коэффициенты, входящие в выражения для передаточных функций звеньев, связаны с их конструктивными параметрами.

Как отмечалось выше, для линейных звеньев справедлив принцип суперпозиции, который для стационарных звеньев описывается интегралом свертки

Выполнив преобразование Фурье для выражения и учитывая, что преобразование Фурье от свертки двух функций равно произведению Фурье-образов этих функций, получим

где передаточная функция рассматриваемого линейного стационарного звена

а и - Фурье-образы сигналов соответственно на выходе и входе звена.

Выражение можно получить непосредственно из дифференциального уравнения . Выполнив преобразование Фурье для выражения и учитывая, что преобразование Фурье от производной некоторой функции равно Фурье-образу этой функции, умноженному на при нулевых начальных условиях, получим

Проделав аналогичные операции с уравнением , запишем

Подставим в уравнение выражение и после несложных преобразований получим формулу, которая играет важнейшую роль при анализе линейных звеньев. Важность этого соотношения заключается в том, что оно дает довольно простой способ нахождения реакции на выходе стационарных звеньев при любом входном воздействии, не прибегая к решению системы дифференциальных уравнений, описывающей работу устройства. С вычислительной точки зрения это означает, что при известной передаточной функции задача анализа сводится к нахождению преобразования Фурье от функции, описывающей входное воздействие, умножению его на передаточную функцию и вычислению обратного преобразования Фурье от полученного произведения. Применение для вычисления БПФ позволяет выполнить эти операции при использовании сравнительно небольших ресурсов ЭВМ и малых затратах машинного времени.

Передаточную функцию, являющуюся определяющей динамической характеристикой линейной системы, можно довольно просто выразить через параметры линейного звена, входящие как коэффициенты в дифференциальное уравнение, описывающее его работу.