Критерии обнаружения

Материал из Национальной библиотеки им. Н. Э. Баумана
Последнее изменение этой страницы: 19:19, 4 апреля 2017.

В последующих разделах использованы выражения, приведенные в 5.1. Здесь они приведены повторно для удобства знакомства с материалами.

Формулы для определения вероятностей и можно найти, если воспользоваться известным выражением для вероятности совместного появления двух событий и

где и – вероятности появления одного события или В; и – условные вероятности появления события или при условии, что второе событие ( или ) уже имело место. Если в нашем случае считать, что событие заключается в получении реализации , а событие в наличии полезного сигнала , то

откуда

Аналогично при (если считать, что событие заключается в отсутствии сигнала ) имеем

так что

Величины и определяют полные априорные вероятности наличия и отсутствия полезного сигнала, т.е. априорные вероятности наличия или отсутствия объекта в поле зрения системы обнаружения, а величина полную априорную вероятность получения реализации .

В свою очередь и задают апостериорные условные вероятности появления конкретной реализации при условии наличия и отсутствия сигнала и идентифицируют два значения функции правдоподобия. Иначе говоря, они показывают насколько правдоподобна реализация .

Так как в задаче обнаружения оба события "" и "" являются противоположными (т.е. несовместимыми и образующими полную группу событий), то справедливы следующие равенства

Разделив на с учетом получим

Величину называют абсолютным, или обобщенным, отношением правдоподобия. Она важна в теории обнаружения, которая базируется на теории статистических решений обнаружения. Поскольку из следует

то можно сделать вывод, что абсолютное отношение правдоподобия полностью определяет вероятность наличия (а, следовательно, и отсутствия) сигнала в реализации . И если бы, например, анализ реализации показал, что , то на основании , так что с учетом

Таким образом, было бы установлено, что , т.е. вероятность присутствия полезного сигнала в реализации больше, чем вероятность его отсутствия, и тем более обоснованным было бы принятие решения "Да" (объект поиска находится в поле зрения системы обнаружения), чем альтернативное решение "Нет". Эта же формула показывает, что для определения необходимо не только извлечь из анализа полученной реализации отношение


Критерий максимума апостериорной условной вероятности или критерий Котельникова

Кр 1°. Рассмотрим правило выбора решения основанное на критерии максимума апостериорной условной вероятности или . Суть метода состоит в том, что из двух решений или всегда следует выбирать такое, которому соответствует большая апостериорная условная вероятность или , наличия или отсутствия полезного сигнала в реализации , т.е. при следует принимать решение , а при - решение . На основании формулы это правило можно записать в виде

или с учётом

Таким образом, процедура принятия решения, предписываемая правилом, базирующемся на критерии максимума апостериорной вероятности, состоит в извлечении из полученной реализации отношения правдоподобия и его сравнении с пороговым , которое для данного критерия численно равно отношению априорных вероятностей

(для Кр 1° Котельникова)

При принимается решение ("Да"), при – решение ("Нет").

Теория статистических решений позволяет считать, что система обнаружения, в которой реализовано правило выбора решения по критерию максимума апостериорной вероятности, позволяет минимизировать число ошибочных решений. Правило не устанавливает какого-либо соотношения между числом ложных тревог и пропусков сигнала. Однако их сумма в достаточно длинной последовательности решений, т.е. вероятность ошибки любого рода, минимальна по сравнению с системой, использующей правило, базирующееся на любом другом критерии. Поэтому применять рассматриваемое правило следует в том случае, когда ложная тревога и пропуск сигнала нежелательны в одинаковой степени и эффективность системы обнаружения может быть оценена их общим числом на каком-то отрезке времени.

Критерий максимума апостериорной вероятности часто называют критерием Котельникова, применившего его для решения задачи синтеза оптимальных приемных устройств, или критерием идеального наблюдателя, беспристрастно фиксирующего ошибку любого рода.


Критерий минимального среднего риска (Критерий Байеса)

Кр 2°. Для выработки правила решения вместо вероятности можно использовать и другую, более универсальную характеристику - средний риск . Если критерием эффективности правила поставить условие минимизации среднего риска, то запись правила имеет вид

( в Кр 2° Байеса). Этот критерий называют критерием минимума среднего риска, или критерием Байеса.

Процедура принятия решения, предписываемая полученным правилом , ничем не отличается от предыдущей: нужно также определить отношение правдоподобия и сравнить его с пороговым значением . Однако пороговое отношение правдоподобия здесь уже другое и зависит не только от отношения априорных вероятностей, но и от значения коэффициентов ("платы" за ошибку или выигрыш). При и значения порогового отношения правдоподобия в правилах и одинаковы и равны , что вполне объяснимо, так как в этом случае средний риск равен безусловной вероятности появления ошибки любого рода (см. раздел 5.1). Следовательно, правило выбора решения по критерию максимума апостериорной вероятности является частным случаем правила выбора решения по критерию минимума среднего риска.

Критерий максимума правдоподобия

Кр 3°. В тех случаях, когда значения априорных вероятностей или и коэффициентов потерь с достаточной степенью достоверности не могут быть установлены, необходимо применять правила выбора решения, базирующиеся на других вероятностных критериях. Одним из таких критериев является критерий максимума правдоподобия. Вытекающий из этого критерия принцип принятия решения можно сформулировать следующим образом: наиболее правдоподобно то событие для которого значение функции правдоподобия максимально. Как уже указывалось (см. раздел 5.1), в задаче обнаружения функция правдоподобия имеет два значения: . Поэтому при следует принимать решение ("Да"), в противоположном случае – решение ("Нет"). С учетом правило выбора решения можно записать в виде

( в Кр 3° максимального правдоподобия). Таким образом, и здесь процедура принятия решения остается прежней. Изменяется лишь порог, который в данном случае равен единице.

Нетрудно заметить, что правило выбора решения является частным случаем правила , получаемого при . Таким образом, реализация правила также позволяет минимизировать общее число ошибочных решений, если условия работы системы обнаружения таковы, что априорные вероятности нахождения и отсутствия объекта в его поле зрения одинаковы.

Не следует думать, что критерий 3° (правило ) лучше, чем критерий 1° (правило ). Верно лишь то, что использование критерия 3º на практике представляется более реальным, так как в этом случае не требуется знания априорных вероятностей и . Однако за отсутствие любых сведений о состоянии исследуемого пространства событий всегда приходится "расплачиваться". Так происходит и в данном случае. Не зная действительных значений и , вполне обоснованно (хотя бы и в порядке гарантии) при проектировании РЭС, ОЭС, либо АЭС взять такие их значения, которые соответствовали бы наихудшим условиям ее работы в режиме обнаружения. Такими значениями как раз и являются значения . Поэтому минимум числа ошибочных решений , полученный с помощью правила , является наибольшим из всех других минимумов, которые могут быть получены по правилу при (минимаксный критерий).

Критерий Неймана-Пирсона

Кр 4°. Рассмотрим ещё один критерий, используемый для построения правила выбора решения - критерий Неймана-Пирсона. Правило, базирующееся на этом критерии, обеспечивает получение максимальной условной вероятности правильного обнаружения при заданной условной вероятности ложной тревоги . Говоря языком математической статистики, правило выбора решения по критерию Неймана-Пирсона при заданном уровне значимости даёт наибольшую мощность решения по сравнению со всеми другими правилами.

Запись правила аналогична , т.е. в ней также присутствуют неравенства вида и . Однако пороговое отношение правдоподобия определяют иначе. Так, для нахождения , не требуется знать ни априорных вероятностей и , ни коэффициентов . Пороговое отношение полностью определяется значениями и , которые должна обеспечить система обнаружения. В этом состоит преимущество критерия Неймана-Пирсона.

На практике целесообразно использовать критерий Неймана-Пирсона в несколько ином виде, когда вместо условной вероятности ложной тревоги используют:

1) среднее число ложных тревог в единицу времени или средний временной интервал между ложными тревогами, причем

2) вероятность возникновения ложной тревоги на заданном отрезке рабочего времени системы обнаружения.

Правило выбора решения, использующее критерий Неймана-Пирсона, позволяет максимизировать условную вероятность правильного обнаружения при заданных значениях , или и .

См. также