Кратная транзитивность группы подстановок

Материал из Национальной библиотеки им. Н. Э. Баумана
Последнее изменение этой страницы: 10:22, 5 мая 2016.
TemplateDifinitionIcon.svg Определение « Определение 1»

Группа подстановок называется транзитивной, если для справедливо:

транзитивна.

2-транзитивна, т.е. каждая пара перешла в произвольную пару:
TemplateDifinitionIcon.svg Определение «Определение 2»

Группа подстановок называется точно транзитивной, если она является -транзитивной, и для справедливо:

Пример

TemplateExampleIcon.svg Пример Пример 1

транзитивна, если ( элементов попарно переводятся в набор)

транзитивна

Афинная группа: на 3-транзитивная при

Все -мерные векторы над полем : на 2-транзитивная группа.


  • Выше, чем для неизвестны группы соответствующих транзитивностей.

Критерий доказательства транзитивности

TemplateTheoremIcon.svg Теорема Теорема 1 Критерий доказательства транзитивности для больших
Транзитивная группа является (точно) транзитивной, (т.е. произвольная точка множества), такая, что группа [1] является (точно) транзитивной.
Доказательство

1) Необходимость:

Пусть группа транзитивна.

Произвольные упорядоченные наборы из попарно различных элементов: (каждое из них не совпадает с точкой ),

Тогда

В силу транзитивности группы можем положить, что

Из : группа - транзитивна, т.е. имеем, что для осуществляется переход:

2) Достаточность:

Пусть группа является транзитивной. Тогда при некотором (берем произвольные наборы из попарно различных элементов).

По условию теоремы транзитивна, а значит, существуют подстановки (в силу транзитивности).

Т.к. является транзитивной, то т.ч. выполняется свойство:

т.е. имеем подстановку Кроме того, происходит переход: имеем транзитивность группы


TemplateTheoremIcon.svg Теорема Утверждение 1

Пусть транзитивна степени Тогда:

  1. (порядок группы) делится на
  2. , если группа точно транзитивна.
Доказательство

Возьмем попарно различных элементов:

Тогда по лемме Бернсайда:

поточечный стабилизатор.

Если - точно транзитивна, то


TemplateTheoremIcon.svg Теорема Утверждение 2
Имеет место следующее вложение:
Dgdm kr tr.png

Любая 2-транзитивная группа примитивна (обратное неверно).

Доказательство

Пусть 2-транзитивна. Предположим, что она импримитивна. Тогда существует (блок импримитивности).

Рассмотрим 2 произвольных элемента: и точку . Т.к. 2-транзитивна, значит, существует подстановка т.е. противоречие с предположением импримитивности группы, поэтому примитивна.


Унипримитивная транзитивная группа

TemplateDifinitionIcon.svg Определение «Определение 3»
Примитивная, но не 2-транзитивная группа подстановок называется унипримитивной.
TemplateExampleIcon.svg Пример Пример 2

Пусть некоторое поле, причем Полагаем, что Рассмотрим невырожденные матрицы:

одновременно не равны нулю (матрица невырожденна).

Т.о. каждой матрице ставим в соответствие подстановку которая действует следующим образом:

- дробно-линейное преобразование.


TemplateExampleIcon.svg Пример Упражнение 1
Убедиться в справедливости следующих утверждений:

1. подстановка.

2. группа.

- множество всех невырожденных матриц над

- группа дробно-линейных преобразований.


TemplateTheoremIcon.svg Теорема Утверждение 3 Кратность транзитивности

При , такие, что принимает все значения из , т.е. транзитивна.

афинная группа

точно 2-транзитивна.

Доказательство

Возьмем произвольные точки

решение - (матрица - невырожденная, точки различные), - точно 2-транзитивная.

По теореме 5.1 точно 3-транзитивная:

пусть поле По утверждению 5.2


TemplateTheoremIcon.svg Теорема Теорема 2

Пусть – примитивная группа подстановок символов, - ее транзитивная подгруппа подстановок из символов, оставляющая остальные символов на месте. Тогда

  1. Если примитивна, то –кратно транзитивна.
  2. В любом случае группа дважды транзитивна.
Доказательство

Доказательство. Группа транзитивна на подмножестве из символов. Любая подгруппа, сопряженная с , транзитивна на некотором множестве из символов, а так как группа транзитивна, любой символ попадает по меньшей мере в одно из этих множеств. Если бы эти множества либо не пересекались, либо совпадали, то они были бы областями импримитивности для группы . Следовательно, для подгруппы существуют сопряженные с ней подгруппы, которые переставляют некоторые, но не все, из тех символов, которые переставляет подгруппа . Пусть – одна из подгрупп, сопряженных с и такая, что группы и переставляют наибольшее возможное количество общих символов. Положим

Эту запись мы понимаем так, что – это символы, переставляемые как группой , так и группой , – это остальные символы, переставляемые группой , – это остальные символы, переставляемые группой . Утверждается, что если группа примитивна, то , а если импримитивна и , то составляют область импримитивности для . Возьмём элемент из :

H'.jpg

Здесь элементы нижней строки не уточняются, а просто указано, что элементов вида отображаются в элементы , некоторое число элементов отображается в элементы , некоторое число – в и в . При этом следует отметить, что число элементов вида , отображаемых в элементы вида , должно быть равно числу элементов вида , отображаемых в элементы вида , так как в нижней строчке подстановки должно быть ровно элементов вида .

Отсюда следует, что подгруппа переставляет элементов вида , элементов вида и элементов вида , а поэтому эта подгруппа переставляет всего элементов таких, которые переставляются также подгруппой . Таким образом, если и подгруппа примитивна, мы можем найти элемент , переводящий некоторые, но не все, элементы вида в элементы того же вида, откуда . Поэтому число указанных выше элементов больше, чем, но меньше, чем . Во всяком случае, мы получаем, что , если подгруппа примитивна, а если , то, независимо от того, примитивна группа или нет, подгруппа дважды транзитивна на символах, а потому примитивна. Теперь можно повторить проделанный цикл рассуждений, но так, чтобы роль подгруппы играла подгруппа . Тогда у нас получиться еще большая подгруппа, уже трижды транзитивная на символах и т.д. В конце концов мы получим всю группу , которая окажется -кратно транзитивной.

В случае, когда группа импримитивна, проведенное рассуждение неприменимо. Но мы можем увеличивать число символов, сдвигаемых одновременно подгруппами и , до тех пор, пока символы не составят область импримитивности для , а – область импримитивности для . Кроме того, – транзитивная группа на символах. Таким образом, если меньше, чем , то будет меньше, чем . Мы можем продолжить построение транзитивных подгрупп над все возрастающим числом символов, пока не получится транзитивная подгруппа над символами, причем больше , но меньше . Тогда любая подгруппа , сопряженная с , переставляет несколько тех же символов, что и подгруппа . Предположим, что подгруппа транзитивна на наибольшем возможном числе символом, не превосходящем . Если и , то подгруппа транзитивна на символах, а потому группа дважды транзитивна. Если это не имеет места, мы построим группу , для которой и . В этом случае символы вида , и составляют все множество, на котором действует группа . Нo так как группа примитивна, то существует такой элемент группы , который отображает символ в некоторый определённый символ , но не все символы такого вида – в символы того же вида, а поэтому он отображает по меньше мере один элемент вида или в элемент вида . Тогда обе подгруппы и оставляют на месте указанный элемент и их объединение и есть транзитивная группа над большим числом символов, чем подгруппа . Итак, мы в конце получим транзитивную подгруппу на символах, и поэтому группа дважды транзитивна.


  • Схема исследования свойств группы
  1. Проверяем: - транзитивна или интранзитивна.
  2. транзитивна, тогда доказываем ее примитивность (или импримитивность).
  3. примитивна, тогда смотрим классификацию (относится к одному из классов), доказываем ее 2-транзитивность.
  4. импримитивна, тогда факторизуем по блокам импримитивности.
  5. 2-транзитивна и Если проверяем, будет ли (совпадет ли?)
TemplateExampleIcon.svg Пример Упражнение 2
  1. Убедиться в справедливости следующих утверждений:
    1. 3-транзитивна для произвольная размерность.
    2. 4-транзитивна и (изоморфна симметричной группе).
  2. При каких является точно 3-транзитивной?
  3. Доказать: транзитивна тогда и только тогда, когда подстановкой из можно любой набор из различных букв из перевести во все наборы из различных букв из


Примечания

  1. Первый член в скобках - стабилизатор точки второй - действия на множестве