Корреляция

Материал из Национальной библиотеки им. Н. Э. Баумана
Последнее изменение этой страницы: 00:20, 20 апреля 2017.


Корреляция (взаимная корреляция) – интегральная операция построения новой функции по двум исходным функциям аналогично ковариации, но вычисляемой для центрированных величин.

где – исходные функции;
– математические ожидания и соответственно.

Корреляция детерминированных функций

Среднее значение детерминированной функции определяется по теореме о среднем в области финитности :

Математическое ожидание финитной функции является также финитной функцией, определяемой с помощью характеристической функции области финитности так, что:

В частности, для одномерной функции, отличной от нуля на , математическое ожидание будет равно:

Введем центрированные функции и . Тогда взаимная ковариация приводится к виду:

откуда

т. е. корреляционная и ковариационная функции отличаются друг от друга на постоянную величину, поэтому все свойства ковариационной функции (не является коммутативной операцией, обладает эрмитовой симметрией относительно перестановки индексов функций, обладает центральной симметрией) автоматически переносятся на корреляционную функцию.

Корреляция случайных функций

Математическое ожидание для случайной функции вычисляется по формуле:

Однако для центрированных величин математическое ожидание равно 0. Тогда слагаемые и превращаются в 0, а формула принимает вид .

Автокорреляция

Корреляция двух одинаковых центрированных функций называют автокорреляцией.

Для детерминированных функций из получаем:

откуда

Для случайных функций выражение преобразуется так же, как и , за счет нулевого математического ожидания:

См. также