Коммутативные группы

Материал из Национальной библиотеки им. Н. Э. Баумана
Последнее изменение этой страницы: 18:41, 1 апреля 2016.
TemplateDifinitionIcon.svg Определение «Определение - Абелева группа»
Абелева группа - группа, которая обладает свойством коммутативности. Для любых верно равенство: .

Коммутативные (абелевы) группы

AS 1 7.png
TemplateExampleIcon.svg Пример Примеры абелевых групп
  • - мультипликативная группа по умножению рациональных чисел без нуля.


Не каждая абелева группа - циклическая.

TemplateTheoremIcon.svg Теорема Теорема
- не циклическая.
Доказательство
Пусть

- противоречие


TemplateExampleIcon.svg Пример Пример

- абелева, но не циклическая группа


Прямая сумма абелевых групп

TemplateDifinitionIcon.svg Определение «Определение - Прямая сумма групп»
Прямой суммой групп и называется выражение вида

Зададим операцию умножения на прямой сумме .

Покажем, что заданное множество является группой.

  • Ассоциативность:
  • Нейтральный элемент
  • Обратный элемент


TemplateExampleIcon.svg Пример Пример

Для того чтобы выяснить циклична ли эта группа, необходимо проверить её изоморфность с группой .

- элементы группы

- порядок элементов

Сопоставим элементы групп и .

- элементы группы

- порядок элементов группы

- элементы группы

Группы изоморфны, следовательно - циклическая. Образующий элемент которой, например, .


TemplateDifinitionIcon.svg Определение «Определение - Прямая сумма нескольких групп»
Прямая сумма групп равна .
TemplateLemmaIcon.svg Лемма «Лемма»
TemplateLemmaIcon.svg Лемма «Следствие»


TemplateExampleIcon.svg Пример Пример



Конечно порожденные абелевы группы

TemplateDifinitionIcon.svg Определение «Определение»
Множество элементов порождает , если может быть представлен как базис .
TemplateDifinitionIcon.svg Определение «Определение - Конечно порожденная группа»
Группа называется конечно порожденной, если существует конечный базис этой группы.
TemplateExampleIcon.svg Пример Примеры
- конечно порожденная

- конечно порожденная

- не конечно порожденная

- не конечно порожденная

- не конечно порожденная


TemplateLemmaIcon.svg Лемма «Лемма»
Конечная группа - конечно порожденная группа.


TemplateTheoremIcon.svg Теорема Теорема о строении конечно порожденных абелевых групп
- абелева и конечно порожденная группа, - циклическая группа.

Это разложение единственно.

Доказательство
Доказательство можно прочитать по ссылке[1]


Ссылки

  1. Доказательство разложения в сумму примарных подгрупп — http://pskgu.ru/ebooks/kag2/kag2_gl14_67.pdf