Кольцо многочленов

Материал из Национальной библиотеки им. Н. Э. Баумана
Последнее изменение этой страницы: 22:58, 11 мая 2016.

Определение

TemplateDifinitionIcon.svg Определение «Определение - Кольцо многочленов»

- кольцо

- многочлен степени над кольцом

- множество состоящее из всех многочленов любой конечной степени над называется кольцом многочленов.

Делимость многочленов

TemplateDifinitionIcon.svg Определение «Определение - Многочлен делится на многочлен »

Многочлен делится на многочлен , если .

Обозначается:

- кратен

или

- делит .

TemplateExampleIcon.svg Пример Пример 1
над полем

, т.к.


TemplateExampleIcon.svg Пример Пример 2
над полем , т.к.

если над полем


TemplateExampleIcon.svg Пример Пример 3
над конечным полем

Над .

Над - делителей нет.

Над


Степени многочленов

TemplateTheoremIcon.svg Теорема Теорема
  1. , если
Доказательство
  1. Многочлены складываются покоэффициентно утверждение очевидно
  2. При перемножении показатели степени складываются: утверждение очевидно


TemplateTheoremIcon.svg Теорема Следствие

, - многочлены над полем

Доказательство

Исходя из условия теоремы и определения делимости многочленов: при чем .

Т.к. многочлены построены над полем, то , т.к в поле нет делителей .


Алгоритм деления многочленов с остатком

TemplateTheoremIcon.svg Теорема Теорема

Пусть — некоторое поле. Тогда для любых многочленов , где , существуют, и притом единственные многочлены , такие что

.

Многочлен называется остатком, а — неполным частным при делении на .

Доказательство

Обозначим , и пусть . Можно считать, что , т. к. все остальные случаи либо сводятся к этому, либо являются тривиальными. Заметим, что старшие коэффициенты не равны нулю, поэтому существует .

Обозначим . Коэффициент при в разности равен , поэтому deg ˜ a(x) < n. Получили равенство:

.

Применив по индукции эти рассуждения к и , найдем такие , для которых , причем и . Тогда и дают искомое представление.

Докажем единственность.

Пусть .

Тогда . Но , а при . Противоречия не будет только в случае и .


Определение нормированного (приведенного) многочлена. Свойства нормированных многочленов

TemplateDifinitionIcon.svg Определение «Определение - нормированный (приведенный) многочлен»
Нормированный (приведенный) многочлен - многочлен, старший коэффициент которого равен 1.

Из свойств нормированных многочленов можно выделить то, что произведение двух нормированных многочленов - нормированный многочлен.

НОД многочленов

TemplateDifinitionIcon.svg Определение «Определение - »
,т.ч.

Алгоритм Евклида для многочленов

Алгоритм Евклида для много членов

- нормированный

  1. Если

Это верно так как:

- представим в виде линейной комбинации

, при чем

Теорема о делении двух многочленов на неприводимый многочлен

TemplateTheoremIcon.svg Теорема Лемма

Если - неприводим и либо , либо

Доказательство

Допустим, что утверждение леммы не верно. Тогда ни один из сомножителей не делится на . Следовательно, и , и из алгоритма Евклида для многочленов следует, что найдутся такие многочлены и , что:

.

Перемножив эти равенства, получим, что:

,

т. е., в силу алгоритма Евклида для многочленов . Противоречие.


TemplateTheoremIcon.svg Теорема Следствие

- неприводим и

Доказательство

Применим доказанную лемму m-1 раз:

или


Представление многочлена. Кратность корня. Свойства кратности

Представление многочлена

- сгруппированы повторяющиеся множители,такое представление единственно.

- при подстановке конкретного получаем значение многочлена, причем если - корень многочлена , то

TemplateTheoremIcon.svg Теорема Теорема

- корень многочлена

иначе

Доказательство


, где - все корни , а


TemplateDifinitionIcon.svg Определение «Определение - Кратность корня »

- степень при в разложении многочлена называется кратностью корня .

Если , то корень называется кратным.

Сумма кратностей всех корней не превосходит :

Формальная производная

TemplateDifinitionIcon.svg Определение «Определение - Формальная производная »

Пусть , тогда - производная

TemplateTheoremIcon.svg Теорема Теорема - Производная суммы

Доказательство

Без доказательства[1].


TemplateTheoremIcon.svg Теорема Теорема - Производная произведения

Доказательство

Без доказательства[1].


TemplateTheoremIcon.svg Теорема Лемма

Кратность

Доказательство

, где

Посчитаем производную:

для

для , если , то - противоречие


TemplateExampleIcon.svg Пример Пример 1

в

Найдем все кратные корни:

- корень кратности 2.


TemplateExampleIcon.svg Пример Пример 2
в при


Литература

Куликов Л. Я. Алгебра и теория чисел: Учеб. пособие для педагогических институтов. — М .: Высш. школа, 1979. — 559 с, ил.

Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля: В 2-х т. Т. 1. Пер. с англ — М. : Мир, 1988. — С. 430. — ISBN 5-03-000065-8.

Примечания

  1. 1,0 1,1 Очень красивое доказательство можно прочитать у Куликова на стр. 479 (книга приведена в разделе "Литература")