Квадратичный закон взаимности

Материал из Национальной библиотеки им. Н. Э. Баумана
Последнее изменение этой страницы: 11:20, 1 мая 2016.

Квадратичный закон взаимности Гаусса

TemplateTheoremIcon.svg Теорема Квадратичный закон взаимности Гаусса

Теорема (Гаусс) [1]:

где - простые, нечетные числа:

  • - квадратичный вычет по модулю
  • - квадратичный вычет по модулю
Доказательство

Перейдем к расширению , причем выберем таким, что:

Возьмем , тогда

Выберем такое (такой элемент существует, - порядок мультипликативной группы).

Рассмотрим:

Считаем, что символ, который не существует, равен 0. Тогда:

где - сумма всех символов по модулю

При всех получим сумму всех степеней .

что и требовалось доказать.


Квадратичный закон зависимости

Посчитаем другим способом:

TemplateDifinitionIcon.svg Определение «Квадратичный закон зависимости»
- квадратичный закон зависимости.

Вычисление символа Якоби

TemplateTheoremIcon.svg Теорема Теорема

Пусть - нечетные.

Доказательство
Пусть . Тогда:


Свойства

Это означает, что у только 4 значения: .

Если .

Если

Задачи

TemplateExampleIcon.svg Пример Пример
  1. https://ru.wikipedia.org/wiki/Квадратичный_закон_взаимности