Идеал кольца

Материал из Национальной библиотеки им. Н. Э. Баумана
Последнее изменение этой страницы: 12:02, 30 апреля 2016.

Определения

TemplateDifinitionIcon.svg Определение «Определение - Идеал кольца[1] »

Идеал - подкольцо, т.ч.

Обозначение:

TemplateDifinitionIcon.svg Определение «Определение - Тривиальный идеал »

Идеал, состоящий из одного нулевого элемента или содержащий все элементы кольца называется тривиальным.

Идеалы в кольце целых чисел

TemplateExampleIcon.svg Пример Пример - Идеалы в
  • Тривиальные:
  • Нетривиальные


Главные идеалы

TemplateDifinitionIcon.svg Определение «Определение - Главный идеал »

- коммутативное кольцо с

- идеал

Тогда называется главным идеал, также говорят, что порожден элементом

Обозначают:

TemplateDifinitionIcon.svg Определение «Определение - Кольцо главных идеалов »

Если в все идеалы главные, то - кольцо главных идеалов

TemplateTheoremIcon.svg Теорема Теорема 1

В все идеалы главные

Доказательство

По определению идеала:

,

Возьмем наименьшее положительное такое что:


TemplateExampleIcon.svg Пример Пример 1

Не главный идеал

- кольцо многочленов

- множество многочленов вида


Идеалы в полях

TemplateTheoremIcon.svg Теорема Теорема 2

В поле нет нетривиальных идеалов

Доказательство

- поле


Литература

Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля: В 2-х т. Т. 1. Пер. с англ — М. : Мир, 1988. — С. 430. — ISBN 5-03-000065-8.

Примечания

  1. Строго такой идеал называется двусторонним. Существуют еще правые и левые идеалы. Если речь зайдет о них, то это будет обговорено отдельно.