Дифракционный интеграл

Материал из Национальной библиотеки им. Н. Э. Баумана
Последнее изменение этой страницы: 16:44, 14 ноября 2016.


Параксиальное приближение для сферической волны имеет место в том случае, когда . При этом . Поэтому комплексная амплитуда сферической волны в параксиальном приближении

Проанализируем дифракцию световой волны на транспаранте с периодическим синусоидальным распределением амплитудного пропускания. Подобные транспаранты называют дифракционными решетками. Пусть плоская световая волна амплитудой , распространяющаяся в направлении положительной полуоси , падает на транспарант, находящийся в плоскости . Допустим, что транспарант имеет амплитудное пропускание

являющееся периодической функцией от с пространственной частотой , а и - вещественные постоянные. При транспарант не вносит фазового сдвига. Непосредственно за транспарантом комплексная амплитуда волны

Первый член данного выражения описывает плоскую волну, распространяющуюся вдоль оси , как и падающая волна, второй и третий члены - плоские волны, направления распространения которых с осью составляют углы и , причем (рис.4). Таким образом, в результате дифракции часть падающей на транспарант световой волны отклоняется от первоначального направления распространения.

С помощью соотношения для плоской волны можно определить комплексную амплитуду света при любом удалении от транспаранта, например при

Для первого члена выражения , для второго и третьего членов . Из следует, что если , то возникают поверхностные волны. Они будут затухающими при , т.е. когда длина волны больше периода дифракционной решетки, поскольку при этом становится мнимой величиной, а - экспоненциальным множителем, убывающим с увеличением .

Амплитудное пропускание двумерной дифракционной решетки в общем случае описывается комплексной периодической функцией двух переменных и . Однако его также легко представить в виде суммы простейших синусоидальных функций путем разложения в ряд Фурье [2]:

Дифрагированная на таком транспаранте световая волна представляет собой суперпозицию бесконечного числа плоских волн с амплитудами, пропорциональными соответствующим коэффициентам разложения и направлениями распространения, определяемыми и Следовательно, суммарная амплитуда дифрагированных волн в плоскости

Рис.5. К решению задачи дифракции с помощью интеграла Френеля-Кирхгофа

В общем случае

где - преобразование Фурье от ,

причем интегрирование производят в области, удовлетворяющей неравенству (вне этой области волны быстро затухают при удалении от транспаранта). Следовательно, можно сделать следующее заключение: если плоская волна амплитудой , распространяющаяся в направлении оси , падает на помещенный в плоскости транспарант с амплитудной функцией пропускания , то спектр комплексной амплитудыв плоскости имеет вид

Для параксиальных волн , пользуясь приближением , справедливым при малых значениях и , выражение можно представить следующим образом:

Ввиду того, что фаза в выражении является параболической функцией пространственных частот, это приближение называют параболическим. Согласно правилу Рэлея искажение фазы волны не должно превышать , т.е. устанавливаются границы применимости параболического приближения [2]:

Решение задачи дифракции можно представить также с помощью интеграла Френеля-Кирхгофа [3]:

где (рис 1.5);
и - координаты точек, принадлежащих плоскостям и .

Угол между положительным направлением оси и отрезком прямой называют коэффициентом наклона. Формулы и на расстоянии от плоскости дфракции дают один и тот же результат [2]. Интеграл является матматическим выражением известного принципа Гюйгенса-Френеля.

Дифракционные формулы Френеля и Фраунгофера

Рассмотрим дифракцию света, падающего на непрозрачный экран с отверстием произвольной формы. Отверстие в экране называют апертурой. В зависимости от удаленности источника света и плоскости наблюдения от дифрагирующего экрана различают зоны дифракции Фраунгофера и Френеля. Дифракция Фраунгофера наблюдается в дальней зоне, удаленной от дифрагирующего экрана на расстояние, во много раз превышающее размеры апертуры. Дифракция Френеля имеет место в ближней зоне, распространяющейся до зоны дифракции Фраунгофера, как это показано на рис.6. Дифракция Фраунгофера по существу является предельным случаем дифракции Френеля при больших расстояниях от экрана. Заметим, что зона дифракции Френеля также начинается на некотором расстоянии от экрана. Непосредственно за апертурой вблизи экрана находится область тени (рис.6). Здесь и далее будем предполагать, что размеры отсверстия на экране велики по сравнению с длиной волны падающего света, а источник света находится на таком расстоянии от экрана, что свет, падающий на экран, имеет практически плоский волновой фронт и постоянную амплитуду. В общем случае апертура представляет собой транспарант с двумерной амплитудной функцией пропускания . В частном случае апертура является отверстием с амплитудной функцией пропускания

Данный случай важен, поскольку часто встречается при анализе оптических систем хранения и обработки информации [3,4]. В любом из рассмотренных случаев непосредственно за экраном при световое поле описывается распределением амплитуд

Рис.6. Зоны дифракции Фраунгофера и Френеля

Свет, падающий на экран, также имеет произвольную комплексную амплитуду Тогда световое поле имеет за экраном комплексную амплитуду:

В дальнейшем будем считать, что непосредственно за экраном световое поле имеек комплексную амплитуду . Поэтому интеграл Френеля-Кирхгофа для рис.6 можно записать в виде

где

Приближение Френеля

Для дифракционного поля в области, удаленной от экрана на расстояние, значительно превышающее максимальный размер апертуры, интеграл Френеля-Кирхгофа значительно упростится. Действительно, если

то можно полагать, что с ошибкой менее если угол . Расстояние в знаменателе подынтегрального выражения можно заменить координатой , поскольку

и согласно . Однако выражение неприемлемо для замены в экспоненциальном члене, так как на экспоненту влияет даже малое изменение . Для получения более точного приближения воспользуемся разложением . Учитывая первые два члена данного разложения для аппроксимации квадратного корня, примем

С учетом интеграл Френеля-Кирхгофа можно записать в следующем упрощенном виде:

Данное выражение называют приближением Фреленя, а соответствующее ему поле - дифракционным полем Френея. Интегральное преобразование вида

где

называют преобразованием Френеля. Следовательно, приближение Френеля представляет собой двумерное преобразование Френеля дифрагировавшего на экране светового поля. Приближение Френеля справедливо в зоне [3]

где - максимальный радиус апертуры;
- максимальный радиус области наблюдения в плоскости (см. рис. 6);
- наименьшая неоднородность распределения светового поля , связанная с максимальной пространственной частотой поля .

Приближение Фраунгофера

Ранее отмечалось, что дифракция Фраунгофера является предельным случаем дифракции Френеля при больших значениях , т.е. в дальней зоне. При этом можно принять более жесткое допущение, нежели чем , а именно

Рассмотрим приближение Френеля, записанное в виде . С учетом допущения можно принять Тогда дифракционная формула еще более упроститься:

Полученное приближение имеет основной множитель в виде интеграла, являющегося преобразованием Фурье распределения комплексных амплитуд света, дифрагировавшего на экране, и его называют приближением Фраунгофера. Такоим образом, дифракция Фраунгофера представляет собой фурье-образ светового поля, дифрагировавшего на экране, умноженный на квадратичный фазовый множитель . Если интересующая область в плоскости наблюдения дифракции Фраунгофера лежит вблизи оси , так что выполняется условие

или то

В последнем случае приближение Фраунгофера упрощается:

Зона дифракции Фраунгофера определяется из условия [3]

Если мкм; мкм, то зоне дифракции Фраунгофера соответствует условие см.

Приближение тени

Если требуется определить поле вблизи экрана, то используют приближение тени:

справедливое при [3]

Оптические системы, выполняющие преобразование Фурье

С помощью простой сферической линзы можно создавать картину, являющуюся фурье-образом входного изображения. Благодаря этому свойству, а также возможности применения линз для формирования световых пучков требуемой конфигурации они находят широкое применение в оптических системах хранения и обработки информации. Рассмотрим простейшую оптическую систему, состоящую из одной тонкой сферичской линзы с фокусным расстоянием , помещенной в плоскости , и расположенного вплотную к ней транспаранта с комплексным амплитудным пропусканием . Линзу называют тонкой, если луч, входящий в точку с координатами , выходит из нее на противоположной поверхности в точке примерно с такими же координатами. Это означает, что смещением луча внутри линзы можно пренебречь; линза задерживает фронт падающей волны.