Дискретизация сигнала

Материал из Национальной библиотеки им. Н. Э. Баумана
Последнее изменение этой страницы: 16:24, 14 ноября 2016.


Дискретизация сигнала — замена непрерывного сигнала последовательностью чисел, являющихся представлением этого сигнала по какому-либо базису.

Постановка задачи

Пусть имеется непрерывный сигнал ,заданный на интервале . При переходе к оцифровке происходит следующая операция. Выбирается шаг дискретизации , и вместо исходного сигнала получается последовательность .Далее, выбирается формат оцифровки . Обычно он бывает кратным 8, хотя это необязательно. Предположим что существует такое число , что выполнены неравенства: для всех .Интервал разбивается на частей. После этого каждое значение заменяеться новой последовательностью , но теперь каждый новый член последовательности принимает значение из интервала .При желании вместо указанного представления можно перейти к представлению сигнала целыми числами со знаком.

На каждом из упомянутых шагов происходит искажение сигнала. Первая задача цифровой обработки заключается в оценке искажения исходного сигнала. Дальнейшая обработка состоит в извлечении из полученного сигнала нужной информации и подавлении шумов. Это осуществляется с помощью цифровой фильтрации. Даже оцифрованный сигнал занимает много места, и следующий шаг обработки заключается в сжатии сигнала. Обычно имеется ввиду сжатие с потерей информации. Здесь важно установить критерий допустимой потери информации. В зависимости от выбранного критерия выбирается способ сжатия. Хотя последовательность бесконечна, в реальных условиях мы имеем дело лишь с конечными последовательностями. В этой связи нужна оценка потерь, связанных с усечением последовательностей.

Дискретизация на основе теоремы отсчетов (Котельникова)

Дискретизация на основе теоремы отсчетов (теорема Котельникова) - cамый распространенный способ дискретизации. Сигналы,спектр Фурье которых равен нулю за пределами интервала , могут восстановлены по своим отсчетам, взятым с шагом :

где

или , отсчеты берутся в точках

TemplateTheoremIcon.svg Теорема Прямое и обратное разложения в спектр Фурье

Прямое и обратное разложения в спектр Фурье описываются соответственно следующими выражениями:

Доказательство

Так как спектр ограничен интервалом ,то его можно разложить в ряд Фурье

По определению коэффициентов Фурье:

Таким образом, если взять отсчеты функции в точках , удаленных друг от друга на величину (частота Найквиста), то функцию можно абсолютно точно восстановить по этим отсчетам.

Двумерный случай:

где — отсчеты на двумерном прямоугольном реестре с шагом по оси х и по оси у.


Дискретизация функций с реальным спектром

Реальные функции имеют спектр , как правило, вида рис.1

Рис.1

Учет так называемых "хвостов" резко увеличивает вычислительные затраты. Нельзя точно восстановить сигнал по теореме Котельникова.

Для того , чтобы не возникало искажений, нужно пропустить изображение через фильтр низких частот- "окно", который устраняет высокочастотные составляющие и ограничивает спектр.

Рис. 2. Строб-эффект
Рис. 3. Муар-эффект

Примеры фильтров "окон".

  1. Прямоугольное окно
  2. Окно Хэннинга
  3. Окно Кайзера

Рассмотрим, что будет, если:

  • а) спектр сигнала не является конечным, т.е. как на рисунке рис. 1.;
  • b) если восстанавливающий фильтр имеет полосу пропускания шире, чем спектр сигнала.

Процедуру восстановления сигнала по его отсчетам можно представить, как результат пропускания через идеальный фильтр низких частот и частотной характеристикой:

непрерывного сигнала

спектр которого — периодически продолженный с периодом спектр сигнала

Если спектр ) ограничен , то выделяется строго один период спектра, соответствующий и равный спектру .

Если спектр шире ,то происходит перекрытие соседних периодов спектра сигнала и уже невозможно выделить спектр сигнала в чистом виде. Это явление называется строб-эффектом


Во втором случае в восстановленный после растрирования с шагом непрерывный сигнал попадают компоненты исходного сигнала из плюс-минус первого порядка периодически продолжительного спектра

Это явление называется муар-эффектом.

См. также