Дельта-функция как математическое описание точечного источника сигнала

Материал из Национальной библиотеки им. Н. Э. Баумана
Последнее изменение этой страницы: 18:05, 5 декабря 2016.

Физическое определение дельта-функции

Классические решения уравнений математической физики, с помощью которых описываются распространение полей в ОЭС, РЭС и АЭС, определяются только вне особых точек. Однако именно эти сингулярные точки играют основную роль, так как в них расположены точечные источники электромагнитного и акустического излучений. Для модельного представления одномерного тракта любого КПС необходима модель «точечного» входного сигнала (воздействия). Дирак ввел физическое понятие δ-функции, которая удобна при адекватном математическом описании точечных источников излучения, точечных зарядов и коротких электрических импульсов.

Дельта-функцией называют такую функцию, которая равна нулю во всех точках плоскости , кроме особой точки , где она обращается в бесконечность.

Рис. 1

При этом интеграл от нее, распространенный на сколько угодно малую область, содержащую особую точку, равен единице.

Дополнительно, по определению:

т. е. двумерная -функция равна произведению двух одномерных -функций, т.е. является сепаррабельной. В частном случае локализована в начале координат.

Введение -функции послужило толчком для широкого развития нового раздела функционального анализа – теории обобщенных (сингулярных) функций или теории распределений. Построенный математический аппарат, хотя и не дал новых методов решения, но привел к усовершенствованию аналитической формулировки задач и более глубокому исследованию проблемы существования решений уравнений математической физики. Теория обобщенных функций разрешает много неясных вопросов нахождения фурье-образов ряда абсолютно неинтегрируемых функций. Примерами таких обобщенных функций служат широко распространенные типовые сигналы в виде функции , задающей равномерно освещенную электромагнитным, либо акустическим излучением плоскость, и амплитудного коэффициента пропускания косинусоидальной амплитудной решетки для моделирования компонент ОЭС и ФАР в РЭС и АЭС. Изложение строгой теории обобщенных функций выходит далеко за рамки дисциплины «ОиРС» и требует привлечения специального математического аппарата. Существенным фактором является то, что при описании сигналов в ОЭС, РЭС и АЭС, а также в электронных трактах указанных систем, -функция и другие обобщенные функции встречаются, как правило, только на промежуточных этапах. В окончательном результате они отсутствуют совсем или входят под знак интеграла вместе с другой бесконечно дифференцируемой и финитной функцией. Необходимо, однако, понимать, что -функция не является функцией в обычном математическом смысле. Например, с обычной точки зрения представляет собой функцию, тождественно равную нулю на всей действительной оси, кроме точки , где она не определена (бесконечная точка разрыва). Известно, что интеграл Римана не зависит от значений функции в конечном и даже счетном числе точек. Поэтому классический интеграл от должен быть тождественно равен нулю.

Пример применения дельта-функции при модельном описании пространственного сигнала

Из-за отсутствия математической строгости в физическом определении -функции существует большой выбор амплитудных коэффициентов пропускания транспаранта, образующих -образные последовательности в РЭС, ОЭС, АЭС.

В качестве канонического типового пространственного сигнала в РЭС, ОЭС, АЭС, допустимо рассмотреть пространственный модулятор на выходе непрозрачного транспаранта с квадратным отверстием при освещении его плоской, нормально падающей волной электромагнитного, либо акустического излучения с единичной амплитудой. Такой сигнал задается амплитудным коэффициентом пропускания

Графически эта функция имеет вид куба и представляет собой произведение двух одномерных канонических типовых сигналов в виде квадратов (рис. 2)

Рис. 2


Последовательность выходных сигналов с rect-образными коэффициентами пропускания и входной  амплитудой  имеет вид:

Выражение задает двумерную последовательность прямоугольных параллелепипедов с уменьшающимся прямоугольным основанием размерами и увеличивающейся высотой . В частности, одномерная последовательность соответствующих прямоугольных импульсов:

приведена на рис.3.
Рис. 3


Очевидно, что при ширина прямоугольника , а высота , так что выполняется первая часть определения

Так как объем двумерного прямоугольного параллелепипеда и площадь одномерного прямоугольника равны единице , то

Иначе говоря, выполняется также и вторая часть определения -функции. Отсюда следует, что :

Таким образом, выражения и определяют двумерную и одномерную -образную последовательность выходных сигналов ТрМ. В двумерной последовательности при  прямоугольное отверстие стягивается в точечное отверстие с бесконечной плотностью амплитуды или интенсивности в рассматриваемой точке. В одномерном случае ТрМ описывается пропускание щелевого транспаранта. Поэтому в пределе получим бесконечно узкую одномерную светящуюся щель  При этом амплитуда или интенсивность этих источников равны единице.

Одним из канонических типовых сигналом осесимметричных оптических и антенных систем является сигнал на выходе непрозрачного транспаранта с круглым отверстием, амплитудный коэффициент пропускания которого имеет вид

График этой функции в виде цилиндра приведен на рис. 4, а ее канонический характер проявляется в том, что объем цилиндра равен единице.

Рис. 4

Тогда -образная последовательность выходных сигналов модели с circ-образными коэффициентами пропускания, которая в пределе по-прежнему стремится к точечному отверстию, имеет вид

при
где при

В результате допустима модель в виде -функция в полярных координатах

являющаяся пределом, к которому стягивается круглое отверстие при освещении плоской, нормально падающей волной с единичной амплитудой. Так как объем любого цилиндра радиуса в раз больше объема прямоугольного параллелепипеда со стороной основания , то этим множителем различаются между собой и

Свойства дельта-функции

Приводимые обоснования свойств опираются на физическое определение -функции и не являются математически строгими.

Практическая реализация дельта-функции

В пространственных трактах ОЭС, РЭС и АЭС, -функция характеризует щелевые или точечные источники излучения, либо единичные временные сигналы в электронных трактах. В одномерном случае -образная модель определяет сигнал на выходе узкой щели шириной

В электрическом тракте ОЭС, РЭС и АЭС сигнал зависит от времени, то есть задает короткий временной импульс длительностью , озникающий в момент времени

В двумерном случае говорят о сигнале на выходе транспаранта, (антенны) с круглым отверстием радиуса

,

тогда описывает поведение точечного источника, вспыхивающего в начальный момент времени t=0, так что

Свойства симметрии

Из определения-образной последовательности, сходящейся к следует:

т. е. -функция является центрально-симметричной функцией относительно особой точки (рис. З). В частности, оказывается четной функцией. Далее, если рассматривать -образные подпоследовательности половинных прямоугольных параллелепипедов, заданных на какой-нибудь половине основания, например то очевидно:

Фильтрующее свойство

Для любой функции , непрерывной в точке , справедливо соотношение

По определению равна нулю всюду, кроме особой точки , а в -окрестности этой точки . Вынося из-под интеграла и учитывая , получим . С учетом свойства 2 выражение представляет собой взаимную свертку исходной функции с -функцией, так что

Выражение можно рассматривать как результат сканирования непрозрачного экрана с точечным отверстием по плоскости , на которой задан оптический сигнал . При фиксированном положении экрана, через отверстие проходит (отфильтровывается) сигнал В одномерном случае сканирует узкая щель (например, в РЛС бокового обзора):

Если точка является точкой разрыва первого рода функции , то с учетом свойства 2 фильтрующее свойство имеет вид

Если считать, что особая точка может перемещаться по плоскости, то удобно переписать в виде

где – переменные интегрирования, а – координаты особой точки. Выражение показывает, что прстранственный сигнал в РЭС, ОЭС и АЭС всегда можно рассматривать как непрерывную двумерную сумму излучающих точечных источников расположенных во всех точках и имеющих амплитуду в этих точках. Исходя из этого, любой множитель перед -функцией называют ее амплитудой. В частности, амплитуда равна единице.

В теории обобщенных функций левая часть представляет собой формальное интегральное выражение для любой обобщенной функции, которое называют скалярным произведением . Оно, строго говоря, определяет -функцию как линейный непрерывный функционал, который ставит в соответствие исходной функции ее значение в особой точке:

Умножение на дельта-функцию

Сигнал в виде -образного воздействия имеет вид

,

т. е. единичная амплитуда -функции изменяется в раз.

Изменение масштаба дельта-функции

Это изменение эквивалентно соответствующему изменению амплитуды -функции:

Иначе говоря, изменение амплитуды -функции обусловливает изменение внутренней структуры точечного отверстия. Выражение следует из того, что интегралы


приводят к одинаковому результату.

Спектральная плотность дельта-функции

На основании свойства преобразования Фурье:

Откуда спектры амплитуд и фаз имеют вид:


так что спектр -функции содержит все пространственные частоты . В частности,

Производные дельта-функции

Рассматривая для простоты одномерный случай , интегрируя по частям и используя фильтрующее свойство,  получим

Для  производной n-го порядка имеем: