Действие группы

Материал из Национальной библиотеки им. Н. Э. Баумана
Последнее изменение этой страницы: 23:38, 18 марта 2016.
TemplateDifinitionIcon.svg Определение «Определение 1»
  1. Подгруппа группы называется нормальной, если для любого и обозначают , если .
  2. Отображение группы в группу называется гомоморфизмом, если для всех . Гомоморфизм группы в себя называется ее эндоморфизмом.
  3. Множество где – единичный элемент группы , называется ядром гомоморфизма и обозначается Если , то изоморфизм.
  4. Правым (левым) смежным классом группы по подгруппе с представителем называется множество (множество ).
  5. Для любых множества либо не пересекаются, либо совпадают. Если – множество всех различных правых смежных классов, то . Такое представление группы в виде объединения попарно непересекающихся правых смежных классов по подгруппе называется разложением на правые смежные классы по .

Также о о действии группы можно посмотреть в этой статье.

Свойства

TemplateExampleIcon.svg Пример Свойства
Пусть – гомоморфизм групп . Тогда:
а)
б)
в) – подгруппа группы , называемая образом гомоморфизма .


TemplateExampleIcon.svg Пример Пример 1.
  1. Согласно основным свойствам экспоненты, отображение является гомоморфизмом аддитивной группы вещественных чисел в мультипликативную группу. Его образ – подгруппа положительных чисел, а ядро тривиально.
  2. Пусть – произвольный гомоморфизм групп . Тогда . Действительно. Если , то . Значит , . Если , то , т.е. . Следовательно, . Если , то . Значит, .
  3. Отображение , заданное равенством , где – знак подстановки , является гомоморфизмом т.к. для всех , причем . Таким образом, - наибольшая нормальная группа в .


Ядрами гомоморфизма исчерпываются все нормальные подгруппы в группе, т.е. любая нормальная подгруппа служит ядром некоторого гомоморфизма.
Стандартный способ построения гомоморфизма с заданным ядром состоит в следующем:
Пусть – группа, - множество классов по (ввиду нормальности левые и правые классы совпадают). Нетрудно убедиться, что , т.е. множество замкнуто относительно поэлементного умножения классов. Кроме того, - группа относительно умножения, называемая фактор-группой группы по нормальной подгруппе . Единицей группы является класс , а обратным к классу – класс . Подчеркнем, что класс является классом элементов в группе , но в группе он сам является элементом, а не классом. Таким образом, отображение , заданное равенством , есть гомоморфизм с ядром , называемый естественным, который и решает нашу задачу.

Обозначим образ при произвольном гомоморфизме групп . Если группы изоморфны, то положим .

Теорема о гомоморфизме

TemplateTheoremIcon.svg Теорема Теорема-основная теорема о гомоморфизме группы
- гомоморфизм,тогда
Доказательство

- фактор

Докажем что является нормальной подгруппой в

Пусть

нужно доказать,что


Если группа действует на (непустом) множестве , то каждому элементу соответствует такое отображение , что . Отображение биективно, поскольку – его обратный элемент (следует из свойств 1 и 2 определения 1.3 (действия). Таким образом, . Кроме того, гомоморфизм групп, поскольку из свойств 1 и 2 для всех и всех имеем . В общем случае имеет место определение.

Подстановочное представление

TemplateDifinitionIcon.svg Определение «Определение 2.»
Произвольный гомоморфизм называется подстановочным представлением группы на .

Таким образом, действие группы на множестве дает пример подстановочного представления на . Следующие понятия, связанные с действием группы на множестве, непосредственно переносятся на подстановочное представление.

TemplateDifinitionIcon.svg Определение «Определение 3.»
Степенью действия (или представления) называется мощность множества . Ядро действия есть ядро соответствующего представления . Действие (или представления) точное, если .

Из теоремы 2.1. следует, что действия (или представления) точное, когда . Приведем некоторые важные примеры представлений.

TemplateExampleIcon.svg Пример Пример 2.

1. (Представление Кели) Для произвольной группы положим и зададим представление посредством умножения справа: для и . Соответствующее представление группы , называется правым регулярным представлением.

Оно является точным, поскольку его ядро

Таким образом, каждая группа изоморфна некоторой подгруппе подстановок.

2. Пусть . Тогда – тождественная подстановка,

Его степень равна 5.

3. Пусть . Тогда правое регулярное представление группы состоит из подстановок . Группа является также циклической и порождается подстановкой .

4. Пусть мерное векторное пространство строк над полем , и – операция сложения векторов (т.е. покомпонентное сожжение по модулю 2). Тогда правое регулярное представление группы является группой сдвигов и состоит из подстановок .


TemplateExampleIcon.svg Пример Пример 3. (Представление на правых смежных классах).
Пусть – произвольная группа, - множество правых смежных классов. Зададим представление группы на множестве посредством умножения справа: , где и . Поскольку тогда и только тогда, когда , то (доказать, что – наибольшая нормальная подгруппа группы , содержащая подгруппу ). В общем случае, представление неточное.


TemplateExampleIcon.svg Пример Упражнение 1

1. Пусть – представление группы на множестве . Показать, что оно определяет действие на посредством равенства для всех и , и – представление, соответствующее такому действию. 2. Для групп привести соответствующие представления Кели.

3. Объяснить, почему нельзя задать представление группы на самой себе равенством для всех и . Показать, что равенство задает представление группы , называемое левым регулярным представлением . Аналогично найти, как задать представление на множестве левых смежных классов по подгруппе .


TemplateExampleIcon.svg Пример Пример 4.
Пусть – произвольная группа, и для всех (в этом случае говорят, что нормализует ). Зададим представление группы на сопряжением, где и . В этом случае ядром представления является централизатор в , т.е. Часто или .


TemplateTheoremIcon.svg Теорема Утверждение 1
Подстановки сопряжены для некоторого в тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую цикловую структуру.
Доказательство
Если , то множества всех подстановок из с одинаковой цикловой структурой являются орбитами группы на .


TemplateExampleIcon.svg Пример Упражнение 2
Группа движений правильного плоского n–угольника, вершины которого пронумерованы от 1 до n, т.е. всех вращений вокруг и отражений относительно оси симметрии, не меняющих его расположение, называется группой диэдра степени n и обозначается . Показать, что порождается подстановками

на множестве вершин n–угольника и не коммутативна. Покажите, что . Найти несколько подгрупп группы , не являющихся нормальными, и описать представление на множестве правых смежных классов. Для представления из примера 4. положить и попробовать описать его.


TemplateDifinitionIcon.svg Определение « Определение 4.»
Группы подстановок и называются подобными или подстановочно изоморфными, если существует пара отображений , удовлетворяющая следующим условиям: - изоморфизм групп, - биективное отображение, причем для всех справедливо равенство (т.е. ).

Подстановочно изоморфными являются симметрические группы при . Условие в более наглядной форме означает: если

то

Орбиты, транзитивность, регулярность, стабилизатор

Пусть , т.е. подгруппа симметрической группы.

Действие группы G на множестве иными словами, на каждый элемент действуем всеми элементами группы .

TemplateDifinitionIcon.svg Определение «Определение 5»
Для произвольной точки группы орбита группы содержащей точку Т.о., действуя на точку всеми элементами G, получаем все образы точки [1] Если , то транзитивная группа; иначе, если то интранзитивная группа.
TemplateExampleIcon.svg Пример Упражнение 3
Доказать свойство: для или


TemplateExampleIcon.svg Пример Пример 5.

1) Пусть , т.е. будем действовать на четырех элементах

Рассмотрим группу в которой содержатся нейтральный элемент и 2 транспозиции, порождающие, в свою очередь, 4-ый элемент. Найдем орбиты либо докажем, что - транзитивна.

распалось на 2 подмножества, значит, - интранзитивна.

2) Рассмотрим группу Клейна

транзитивна.


TemplateDifinitionIcon.svg Определение «Определение 6»

Пусть . Введем:

поточечный стабилизатор множества

(стабилизирует множество поточечно, т.е. оставляет на месте каждый элемент множества ).

стабилизатор множества в целом

(сохраняет множество в целом, внутри множества элементы могут быть переставлены, т.о. представление элементов внутри не важно). Очевидно, что:

(стабилизируем точку - стабилизируем все множество).
TemplateExampleIcon.svg Пример Упражнение 4
Для группы Клейна показать, что стабилизаторы [2]


TemplateExampleIcon.svg Пример Пример 6
1) Рассмотрим знакопеременную группу - все четные подстановки, действующие на четырех элементах (т.е. произведение транспозиций или циклы нечетной длины):

Мощность знакопеременной группы:

Найдем стабилизаторы:

2) Пусть (имеем возможность переставлять местами 1 и 2, но нельзя выходить за пределы множества).

Выпишем: - поточечный стабилизатор для 1 и 2, т.е. это пересечение стабилизатора точки 1 и стабилизатора точки 2:


Схема Фейстеля[3]

, где - m-мерное пространство над

Определим преобразование: где - произвольное отображение.

отображение[4]:

Далее - берется композиция преобразований:

  • для - подстановки,
  • - т.е. осуществляем четную подстановку:
- любой блочный шифр на основе схемы Фейстеля является четной подстановкой.
TemplateTheoremIcon.svg Теорема Лемма Бернсайда
Пусть , берем произвольную . Тогда, если хотим знать мощность группы, то достаточно выяснить длину орбиты и мощность стабилизатора: где длина орбиты, а мощность стабилизатора.
Доказательство
(смежный класс).

Значит, стабилизатору.

Хотим узнать,сколько различных точек на орбите раскладывается на смежные классы относительно стабилизатора.

Число различных точек на орбите, содержащих точку равно числу смежных классов в группе - длина орбиты, что и требовалось доказать.


Используя лемму, всегда можно оценить порядок группы.

TemplateLemmaIcon.svg Лемма «Следствие»

Если G - транзитивна на то:

  1. все стабилизаторы сопряжены между собой.


TemplateTheoremIcon.svg Теорема Лемма Коши-Фробениуса-Бернсайда

Пусть и имеет орбит. Обозначим: - число неподвижных точек по подстановке для Тогда число орбит:

В частности, если - транзитивна, то .

Доказательство

Пусть - орбиты группы . Тогда точка - неподвижная только при действии стабилизатора . Тогда из леммы Бернсайда имеем:


TemplateDifinitionIcon.svg Определение «Определение 7»
Группа подстановок называется полурегулярной, если:
Группа называется регулярной, если она транзитивна и полурегулярна (т.е. порядок подгруппы равен числу перемещаемых символов; всякая подстановка, кроме e, действительно перемещает каждый из символов).
TemplateExampleIcon.svg Пример Пример 7

Рассмотрим циклическую группу .

Группа будет полурегулярной тогда и только тогда, когда в разложении на независимые циклы все неединичные циклы имеют одинаковую длину (иначе противоречие c ).

Группа будет регулярной, если g - полноцикловая подстановка, т.е. длина цикла - т.е. присутствуют все элементы из множества.


TemplateTheoremIcon.svg Теорема Утверждение 2

Для группы следующие условия эквивалентны:

  1. - регулярная
  2. - полурегулярная
  3. - транзитивная,
Доказательство

Пусть - регулярна, тогда является полурегулярной, кроме того, она транзитивна. По лемме Бернсайда:

транзитивна.

Пусть - полурегулярна, и . По лемме Бернсайда:

транизитивна.

Пусть - транзитивна, . По лемме Бернсайда:

регулярна.


TemplateExampleIcon.svg Пример Упражнение 5

Пусть действует на множестве . Требуется доказать:

  1. - подгруппа. , если . Кроме того, .
  2. Пусть - подгруппа . Доказать, что следующие условия эквивалентны:
    1. - транзитивна. В частности, любая подгруппа группы являющаяся транзитивной и содержащая , совпадает с
  3. Пусть - произвольная группа. Показать, что на можно задать действия следующим образом: действие. Доказать:
    1. - транзитивное действие.
    2. Найти и выписать в явном виде
    3. Является ли оно (действие) точным?
    4. Пусть - подгруппа орбита группы . Доказать, что орбита группы . Если - транзитивна, и то любая орбита имеет вид для некоторого


Нормализатор и централизатор

TemplateDifinitionIcon.svg Определение «Определение 8»
Нормализатор множества в

Централизатор множества в

TemplateExampleIcon.svg Пример Упражнение 6

Пусть Доказать:

  1. Если транзитивен, то полурегулярна.
  2. Если транизитвна, то полурегулярен.
  3. Если абелева и транзитивна, то регулярна, а также имеет место равенство:


Примечания

  1. Очевидно, что распадается на множество своих орбит.
  2. Подсказка; см. Пример 6, п. 2).
  3. Является основой при построении блочных шифров.
  4. Убедиться в этом самостоятельно.