Волновая аберрация

Материал из Национальной библиотеки им. Н. Э. Баумана
Последнее изменение этой страницы: 16:58, 14 ноября 2016.

Понятие волновой аберрации

В реальных оптических системах волновой фронт в выходном зрачке, соответствующий точечному источнику в предметной плоскости, отличается от сферической волны, сходящейся в сопряженной точке геометрооптического изображения.

Для того чтобы охарактеризовать степень отклонения реальной монохроматической волны от идеальной (сферы сравнения) в плоскости выходного зрачка, вводится понятие волновой аберрации (волновой аберрационной функции) , где - координаты волны в плоскости выходного зрачка; - смещение точки Р' относительно О' (рис. 1).

Рис.1. Трехмерная геометрическая модель однолинзового объектива

Волновой аберрацией называют линейную величину отклонения реальной волновой поверхности от сферы сравнения, измеряемую вдоль радиуса этой сферы (рис. 2).

Рис.2. Двумерная геометрическая модель волновых фронтов, определяющая знак волновой аберрации: - волновые аберрации; - продольные геометрооптические аберрации соответственно для точек

Эту величину выражают в миллиметрах или микрометрах, либо в долях длины волны монохроматического излучения.

Для волновой аберрации, так же как и для продольных и поперечных аберраций, устанавливают правило знаков. Рассмотрим ряд лучей, принадлежащих реальному пучку, исходящему из некоторой точки объекта. Для простоты ограничимся лучами, лежащими в меридиональной плоскости. Пусть - кривая, ортогональная всем лучам пучка. Она является по определению меридиональным сечением реальной волновой поверхности. Через точку проводим окружность радиусом с центром в меридиональном фокусе параксиальных лучей. Точки принадлежат сфере сравнения и не совпадают с . При этом оптическая длина пути, отсчитываемая от предметной точки (или от соответствующей ей точки на сфере с центром в точке ) до точки (рис. 3) отличается от оптической длины пути до точки на величину волновой аберрации .

Рис.3. Формирование изображения в реальной обобщенной оптической системе.

Волновая аберрация считается положительной (рис. 2, а), если реальная волновая поверхность имеет меньшую кривизну, чем сфера сравнения (реальная волна расположена левее идеальной волны), что соответствует положительным продольной и поперечной геометрооптическим аберрациям. Волновая аберрация отрицательна (рис. 2, б), если реальная волновая поверхность имеет большую кривизну, чем сфера сравнения (реальная волна расположена правее идеальной волны), что соответствует отрицательным продольной и поперечной геометрооптическим аберрациям.

Влияние монохроматических аберраций на ОПФ

При наличии аберраций оптическая передаточная функция (ОПФ) вычисляется как нормированная функция ковариации[1] для аберрационной функции зрачка. Можно получить оценку для модуляционной передаточной функции (МПФ):

откуда следует, что аберрации никогда не улучшают МПФ, а только в основном уменьшают контраст каждой пространственной гармоники в пространственно - частотной структуре интенсивности объекта. В то же время наличие поглощения в зрачке может привести к относительному увеличению контраста для некоторых пространственных частот. Если поглощение в объективе отсутствует , то получим выражение для ОПФ в нормированных пространственных частотах

[2]

откуда

Таким образом, хотя пространственно-частотный диапазон , пропускаемый некогерентной ОС, остается таким же, как и для анаберрационной ОС (он определяется размерами зрачка), сильные аберрации будут настолько уменьшать МПФ, что эффективная предельная пропускаемая пространственная частота в реальной ОС оказывается много меньше соответствующей величины в дифракционно ограниченной ОС. Кроме того, аберрации могут привести к отрицательным значениям ОПФ в некоторых диапазонах пространственных частот, что совершенно невозможно в системах, свободных от аберраций. Если ОПФ отрицательна, то в этом диапазоне частот происходит обращение контраста, т.е. максимумы и минимумы интенсивности меняются местами. В общем случае на ОПФ оказывает влияние как наличие поглощения, так и отклонение реального волнового фронта от сферы сравнения. Исследуем отдельно преобразующие свойства модуля и фазовой составляющей аберрационной функции зрачка.

Влияние функции зрачка на ОПФ

В объективе с поглощением вид функции зрачка определяется амплитудным коэффициентом пропускания . Проиллюстрируем влияние на ОПФ формы зрачковой функции. При этом широко используется понятие треугольной -функции.

Рис.4 а, б. Оптическая передаточная функция ДОС: а - с косинусоидальной функцией зрачка; б - с параболической функцией зрачка

Пример 1. На рис. 2, а показана косинусоидальная когерентная передаточная функция (КПФ). Получим: ОПФ отлична от нуля при , где она имеет вид[3]

Для частных случаев имеем

Соответствующие кривые приведены на рис. 4, а.

При этом видно, что в системах с поглощением контраст гармонических объектов увеличивается в области низких пространственных частот и уменьшается в области высоких пространственных частот по сравнению с ДОС без поглощения .

Пример 2. На рис. 2, б показана когерентная передаточная функция параболической формы. Для числителя и знаменателя нормированной функции ковариации для функции зрачка найдем, что они отличны от нуля в диапазоне частот и имеют вид

Соответствующие кривые приведены на рис. 4, б. Как видно из графиков, контраст мелких деталей в такой системе с поглощением можно увеличить по сравнению с контрастом в ДОС без поглощения , если затемнить центральную часть цилиндрического объектива.

Так как ОПФ представляет собой нормированную некогерентную передаточную функцию ( НКПФ):, то с ее помощью нельзя оценить полные потери освещенности в изображении (рис. 4), обусловленные поглощением в оптических элементах.

Влияние волновой аберрации на ОПФ

Дана функция зрачка цилиндрического объектива, равна тождественно единице внутри зрачка, так что

Волновую аберрационную функцию зададим в виде степенной функции в нормированных координатах в виде

где . Тогда КПФ, определяемая аберрационной функцией зрачка, имеет вид

при этом . Для определения типа аберрации необходимо сравнить с выражением (2.142), в котором , а заменяется на .

Подставляя в с учетом для ОПФ при имеем

Пределы интегрирования верны для для

По определению автоковариационного интеграла ОПФ отлична от нуля для и равна тождественно нулю вне этого интервала. В дальнейшем это условие специально не оговаривается.

Поперечная и продольная геометрооптические аберрации для лучей, расположенных в меридиональной плоскости, принимают вид

Исследуем поведение ОПФ для ряда значений в

Пример 3. Пусть . Соответственно ОПФ

Из поперечная аберрация , т. е. все лучи сходятся в одной точке. Таким образом, коэффициент определяет постоянный фазовый сдвиг в выходном зрачке , что соответствует выбору различных сфер сравнения радиуса . Такая ОПФ фактически описывает поведение ДОС.

Рис.5 а, б. Оптическая передаточная функция АДОС со степенной волновой аберрационной функцией : а - МПФ и ФЧХ АДОС с линейной ; б - ОПФ АДОС с квадратичной

Пример 4. Пусть . Такой вид волновой аберрационной функции соответствует поперечной дефокусировке и дисторсии . В этом случае из

так что МПФ и ФЧХ, приведенные на рис. 5, а, имеют вид

На основании поперечная геометрооптическая аберрация при обусловливает постоянное смещение НКФР вдоль оси . Поэтому все лучи сходятся теперь не в точке , а в точке с координатой в гауссовой плоскости. Соответствующий фазовый сдвиг , линейный по частоте, эквивалентен наличию оптического клина в выходном зрачке и задает одинаковое смещение всех пространственно-частотных гармоник

Таким образом, линейная волновая аберрация при приводит к наклону идеального волнового фронта и не влияет на передачу контраста гармоник, а лишь обусловливает смещение изображения объекта в целом.

В случае поперечной дефокусировки смещение точек изображения и отдельных гармоник прямо пропорционально , т. е. сопровождается растяжением изображения. По модулю линейное увеличение становится другим, однако по полю оптической системы от точки к точке не изменяется. Наличие дисторсии вызывает смещение пространственно-частотных гармоник, пропорциональное , что обусловливает изменение по полю линейного увеличения.

Пример 5. Пусть . При такое представление волновой аберрации приводит к продольной дефокусировке, при этом из для ОПФ имеем . Для поперечной и продольной геометрооптической аберрации с учётом и соответственно получим

Так как величина не зависит от , то все лучи сходятся на оптической оси в точке с координатой (рис. 2.11). Таким образом, квадратичный фазовый сдвиг соответствует продольной дефокусировке , т.е. смещению плоскости наблюдения относительно гауссовой плоскости на величину . ОПФ показана на рис. 5, б. При этом видно, что контраст изображения начинает уменьшаться, когда величина волновой аберрации на краю зрачка превышает (аберрационный критерий Релея). Исходя из критерия Релея, допуск на продольную дефокусировку равен . При ОПФ быстро спадает до нуля (первый нуль ОПФ при ) для сравнительно низких пространственных частот, для которых . Тогда приближенное выражение для ОПФ

совпадает с одномерной ОПФ ДОС с геометрооптической НКФР, которая имеет вид прямоугольника (одномрного цилиндра). Пространственно-частотные гармоники в спектре объекта, соответствующие отрицательным значениям ОПФ, претерпевают обращение контраста.

Рис.5 в, г. Оптическая передаточная функция АДОС со степенной волновой аберрационной функцией : в - МПФ и ФЧХ АДОС с кубической ; г - ОПФ АДОС с в виде параболы четвертой степени

Пример 6. Пусть . Такой вид волновой аберрации соответствует коме . После ряда преобразований для ОПФ из получим

где - интегралы Френеля;

Ha основании величина поперечной геометрооптической аберрации . Квадратичная зависимость от приводит к тому, что все лучи уже не могут собраться в одной точке. Графики и для случая приведены на рис. 5, в.

Пример 7. Пусть . Такой вид волновой аберрационной функции соответствует сферической аберрации третьего порядка . Из получим интегральное представление для ОПФ, не выражающееся в квадратурах:

Величины поперечной и продольной геометрооптических аберраций из и соответственно равны

и показывают, что лучи не собираются в одной точке. Оценку влияния сферической абберации на ОПФ удобно проводить совместно с учетом продольной дефокусировки :

Выражая коэффициенты и соответственно через продольную дефокусировку и максимальную сферическую аберрацию , получим

Параметр задает положение плоскости наблюдения. При она совпадает с плоскостью гауссова изображения, а при плоскость наблюдения соответствует плоскости фокусировки крайних лучей. Графики для при различных значениях параметра показаны на рис. 5, где АДОС, у которой плоскость наблюдения расположена посредине между гауссовой плоскостью и плоскостью фокусировки крайних лучей , имеет ОПФ, близкую к ОПФ ДОС, в виде .

Примечания

  1. Здесь и далее: индекс ADOS означает анаберрационная дифракционно-ограниченная система.
  2. Здесь и далее: индекс ROS означает реальная оптическая система
  3. Здесь и далее: индекс DOS означает дифракционно-ограниченная система.

Cм. также