Виды критериев качества

Материал из Национальной библиотеки им. Н. Э. Баумана
Последнее изменение этой страницы: 14:57, 19 декабря 2016.


Исходные данные определяют множество допустимых точек (систем), из которых следует выбрать наилучшую или, по меньшей мере, приемлемую точку (систему). Чтобы осуществить такой выбор, необходимо сформулировать критерий качества кр. () системы, входящий в полные исходные данные .

Сформулировать критерий качества системы так, чтобы он годился «на все случаи жизни», т. е. для любых видов систем и при любых условиях их применения, невозможно, поскольку все явления в природе взаимосвязаны и находятся в состоянии изменения, а множество этих явлений неограниченно: то, что хорошо для одних условий, на одном пространственно-временном интервале, может оказаться неудовлетворительным для других условий, на другом пространственно-временном интервале. Поэтому любой критерий качества является в какой-то мере условным и имеет ограниченную область применения. В практике проектирования наиболее распространено его разбиение на критерий приемлемости и критерий предпочтения. Критерий приемлемости устанавливает границу между приемлемыми и неприемлемыми значениями вектора качества : по одну сторону от этой границы (в направлении начала координат) значения вектора K считаются приемлемыми, с точки зрения назначения системы, а по другую сторону — неприемлемыми. Например, при двух показателях качества эта граница может иметь вид кривой на рис. 1: все значения вектора (все точки, являющиеся концами этого вектора), принадлежащие области (заштрихованной), считаются приемлемыми, а не принадлежащие этой области — неприемлемыми (неудовлетворительными).

В общем случае уравнение этой области можно записать в виде [1]

При этом приемлемое значение каждого показателя качества зависит от значений остальных показателей. Например, на рис. 1 приемлемое значение показателя тем больше, чем меньше , и, наоборот, приемлемое значение уменьшается с ростом . Для упрощения критерия приемлемости большей частью принимают, что приемлемое значение каждого показателя не зависит от значений остальных показателей, т. е. заменяют одно сложное (функциональное) неравенство системой ограничений вида

где , … , максимальные (предельно допустимые) значения показателей качества , ..., .

При этом криволинейная граница (рис. 1) заменяется линейно-ломаной (рис. 2).

Обозначим: — совокупность ограничений показателей качества вида [или ], устанавливающая границу между приемлемыми (с точки зрения назначения системы) и неприемлемыми (неудовлетворительными) значениями вектора качества системы;

— совокупность исходных данных, отличающихся от полной совокупности D [см. ] только тем, что критерий качества кр. учтен лишь введением критерия приемлемости .

Каждая система, удовлетворяющая совокупности исходных данных , является не только допустимой [т. е. удовлетворяющей исходным данным ], но и приемлемой. Такую систему будем называть строго допустимой. В общем случае существует не одна строго допустимая система, а некоторое множество таких систем (точек). Очевидно, множество является частью множества , получаемой выделением из области (множества), удовлетворяющей ограничениям . Например, если имеет вид, изображенный на рис. 2 и повторенный на рис. 3 (область abcd), а ограничения определяются неравенствами

то множеству соответствует область a'bс'd', отмеченная на рис. 3 штриховкой.

Здесь, как и ранее, показатели ..., полагаются имеющими стандартный вид.

Множества и , изображенные на рис. 3, содержат континуум точек. Однако, в некоторых случаях эти множества могут содержать лишь конечное число точек (например, на рис. 4 множество содержит семь точек, из которых только две (4 и 6) являются строго допустимыми, т. е. образуют множество ). Это имеет место, если ограничения , накладываемые на структуру системы, и значения ее параметров, являются предельно жесткими; допускают лишь конечное число N вполне определенных систем (или вариантов построения системы), имеющих фиксированные значения всех параметров. В этом случае множество содержит всего N точек, из которых в входят лишь точки, удовлетворяющие ограничениям показателей качества.

Этот случай, когда требуется сравнивать лишь конечное число систем (вариантов построения систем), называется в дальнейшем задачей дискретного выбора систем. В отличие от него, при синтезе структуры системы и (или) оптимизации значений ее параметров множества и содержат континуум точек. При этом в зависимости от вида ограничений эти множества могут быть выпуклыми (при достаточно слабых ограничениях) или невыпуклыми (при более жестких ограничениях).

Как известню, множество называется выпуклым, если все точки отрезка прямой, соединяющего любые две точки множества , принадлежат этому множеству; в противном случае множество называется невыпуклым. Например, множество , изображенное на рис. 5, а, выпуклое, а на рис. 5, б - невыпуклое: у отрезка прямой , соединяющего точки b и с этого множества, не все точки (а лишь граничные точки b и с) принадлежат этому множеству.

Рис. 5. Граница приемлемости вектора качества.

Все строго допустимые системы (соответственно, все точки множества ) с точки зрения их применения являются приемлемыми. Однако желательно из всего множества таких систем выбрать в каком-то смысле наилучшую или, по меньшей мере, отсеять безусловно худшие варианты построения системы. Для решения этой задачи необходимо сформулировать соответствующий критерий предпочтения одной системы (одного значения вектора ее качества) другой системе (другому значению вектора ).

Рассмотрим сначала так называемый безусловный критерий предпочтения (БКП) (также называемый Критерием Парето. Пусть сравниваются две системы (два варианта их построения) и , которым соответствуют векторы качества и ; имеющие стандартный вид, т. е. чем меньше , тем лучше система при неизменных значениях остальных показателей. Очевидно, необходимое и достаточное условие того, что система лучше, чем , имеет вид

для всех

и, по меньшей мере, для одного номера выполняется строгое неравенство

Условие сокращенно записывается так:

Действительно, из или следует, что у системы все показатели качества не хуже, чем у системы , и, по меньшей мере, один из них не только не хуже, а лучше. Но это означает, что система безусловно лучше, чем . Конечно, если у системы будет меньше (лучше) не один, а несколько показателей качества, то она также будет безусловно лучше, чем , но это условие, будучи достаточным, не является необходимым. С другой стороны, если какие-либо из соотношений не выполняются, система уже не может считаться безусловно лучшей, чем . Следовательно, условие действительно является необходимым и достаточным.

Путем аналогичных рассуждений нетрудно убедиться, что если вместо выполняется обратное неравенство

т. е. в развернутом виде для всех , и, по меньшей мере, для одного значения выполняется строгое неравенство , то система безусловно хуже, чем . Наконец, если

т. е. для всех , то системы и эквивалентны по качеству.

Таким образом, БКП может быть сформулирован следующим образом:

  • если , то система безусловно лучше, чем
  • если , то система безусловно хуже, чем
  • а при равенстве системы и эквивалентны по качеству.

Однако, возможны такие случаи, когда для векторов ' и не будет выполняться ни одно из соотношений . Например, если , а , то , но несправедливы и неравенства и . В таких случаях системы и не могут быть признаны ни эквивалентными, ни безусловно превосходящими одна другую по качеству: они оказываются по БКП несравнимыми. Такие несравнимые по БКП системы, как будет показано в Гл. 9, относятся к классу так называемых нехудших систем. Для их сравнения необходимо ввести какой-либо другой критерий предпочтения, называемый условным критерием предпочтения (УКП), ибо необходимо дополнительно условиться, по какому принципу одной комбинации показателей качества должно отдаваться предпочтение по сравнению с другой комбинацией этих показателей, т. е. одному значению вектора качества по сравнению с другим его значением . Для этого вводится результирующая скалярная функция векторного аргумента

где — скалярная величина, называемая результирующем (обобщенным) показателем качества, — некоторая вполне определенная функция показателей качества , называемая результирующей целевой функцией; ее вид выбирается (обосновывается) исходя из назначения системы.

Например, иногда оказывается возможным и целесообразным полагать, что

где c — весовые коэффициенты, удовлетворяющие условиям

Более подробно вопрос о выборе вида результирующей целевой функции и ее применении при проектировании рассматривается в Гл. 9. Пока же отметим лишь некоторые общие свойства этой функции. Вид функции можно выбрать таким, что чем меньше , тем лучше система. Такая результирующая целевая функция называется функцией потерь: она как бы назначает потери, соответствующие той или иной комбинации показателей  ; чем меньше потери, тем лучше система. Можно выбрать вид функции и таким, что чем больше величина , тем лучше система. Такая результирующая целевая функция называется функцией полезности (выгоды).

Поскольку частные показатели качества мы условились выбирать таким образом, что чем меньше каждый из них, тем лучше система (при прочих равных условиях), то удобно и результирующий показатель качества выбрать таким, чтобы улучшению системы соответствовало уменьшение (а не увеличение) значения , т. е. выбрать функцию в классе функций потерь, а не функций полезности. При этом, если функция выбрана вполне корректно, то она должна монотонно воз-растать по каждому аргументу (при фиксированных значениях остальных аргументов). Действительно, при возрастании каждого аргумента, например (при фиксированных значениях остальных аргументов , качество системы ухудшается (это следует из определения каждого частного показателя качества ). Но это означает, что и величина, характеризующая качество системы (потери), должна также возрастать. Нетрудно убедиться, что, например, функция удовлетворяет этому требованию. Как будет показано в Гл. 9, иногда ради упрощения процесса сравнения систем (отыскания оптимальной системы) приходится отступать от требования полной корректности результирующей целевой функции и выбирать ее в виде не монотонно возрастающей, а лишь неубывающей функции.

Поскольку результирующий показатель качества является скалярной величиной, а не векторной, введение функции означает, по существу, сведение векторной задачи сравнения (выбора, оптимизации) систем к скалярной — к сравнению по единственному, скалярному показателю . Такая скаляризация задачи позволяет в ряде случаев не только существенно упростить процесс ее решения, но и сравнить между собой такие системы, которые по БКП оказываются принципиально несравнимыми. Действительно, при сравнении двух вариантов и систем по их результирующему показателю качества возможны лишь следующие случаи: .

В первом случае система лучше, чем , во втором — хуже, чем , а в третьем — варианты эквивалентны. Следовательно, при применении УКП, в отличие от БКП, несравнимых вариантов быть не может, что является основным преимуществом УКП. Однако это преимущество УКП сопровождается весьма серьезным недостатком: требуется обосновать вид результирующей целевой функции , что, как правило, возможно лишь со значительной степенью условности, произвола, субъективности. Например, в ряде случаев невозможно достаточно строго обосновать, почему эта функция должна быть линейной комбинацией показателей качества и каковы должны быть значения весовых коэффициентов . Поэтому критерии вида в отличие от безусловного критерия названы условными.

Однако, следует отметить, что критерий , являясь по сравнению с безусловным, строго говоря, также не может считаться абсолютно безусловным, так как в природе вообще ничего абсолютно безусловного не существует. Условность критерия состоит в том, что при его применении система характеризуется вполне определенным и, притом, обычно весьма ограниченным числом показателей качества . Пусть по этим показателем система оказалась безусловно лучшей . Но может существовать некоторый дополнительный показатель качества , который у системы окажется хуже, чем у . Тогда по этим показателям система уже не может быть признана безусловно лучшей . Поэтому утверждение «система S" безусловно лучше (или безусловно хуже, или эквивалентна), чем , всегда справедливо лишь при выполнении некоторых предварительных условий (т. е. для некоторых вполне определенных исходных данных) и, следовательно, в какой-то мере условно. Однако условность такого рода (вызванная условностью исходных данных) имеет место и при формулировке УКП. Поэтому принятое деление критериев предпочтения на безусловный и условный, хотя и является само по себе условным, оправдано тем, что при введении УКП (по сравнению с БКП) появляется дополнительная и, притом, весьма существенная условность, связанная с необходимостью выбора (обоснования) вида функции потерь .

Таким образом, введение УКП вместо БКП обычно позволяет весьма существенно упростить процедуру сравнения (выбора, оптимизации) различных вариантов построения системы и избежать возможности появления несравнимых вариантов. Однако, это преимущество достигается путем введения ряда дополнительных условностей и произвола. С учетом этих особенностей БКП применяется, как правило, на стадии научных исследований и на начальных этапах проектирования, когда допустимо учитывать лишь сравнительно небольшое число показателей качества () и, в то же время, особенно нежелательно вводить произвол, связанный с конкретизацией вида функции потерь. С другой стороны, на заключительных этапах проектирования, когда необходимо принимать во внимание большое число показателей качества и производить сравнение, включая варианты, оказавшиеся по БКП несравнимыми, применение какого-либо конкретного УКП оказывается не только оправданным, но и необходимым.


В ряде случаев достаточно убедительно обосновать применение УКП ко всей совокупности исходных показателей качества не удается, но оказывается возможным дать необходимое обоснование для отдельных групп показателей. Вводимые для таких групп результирующие показатели качества, в отличие от результирующего показателя вида , объединяющего все m показателей, будем называть приведенными и обозначать

где () — группа показателей качества из общей совокупности () этих показателей; некоторая вполне определенная функция показателей , которую следует обосновать исходя из назначения системы и условий ее функционирования.

В большинстве случаев наиболее просто обосновать сведение группы показателей к одному приведенному показателю в тех случаях, когда эта группа состоит из однородных показателей качества, т. е. показателей, характеризующих одно и то же свойство системы, например ее точность или помехоустойчивость. К таким приведенным показателям относится, в частности, целый ряд уже описанных показателей: приведенные затраты , средний риск и др.

Использование приведенных показателей позволяет сократить исходное число показателей до значительно меньшего числа приведенных показателей. Действительно, как отмечалось в Гл. 2 и 7, точность воспроизведения дискретных сообщений в общем случае характеризуется совокупностью (матрицей) большого числа условных вероятностей ошибок, а стоимость системы — большим числом затрат различных видов; поэтому введение приведенных показателей и позволяет сократить число показателей, характеризующих два свойства системы (точность и стоимость), с нескольких десятков или даже сотен показателей до двух.

После введения приведенных показателей качество системы характеризуется совокупностью (вектором) приведенных показателей и на ее основе можно ввести безусловный критерий предпочтения, в котором показатели полностью заменяют первичные (элементарные) показатели . При этом критерий предпочтения в целом является смешанным — условно-безусловным, так как каждый приведенный показатель образуется путем введения соответствующей условной целевой функции вида .

Для того чтобы критерий предпочтения был смешанным, не обязательно, чтобы все составляющие вектора были приведенными показателями — достаточно, чтобы приведенным был хотя-бы один из показателей, учитываемых в составе вектора . Например, смешанный вектор качества может иметь вид

где средний риск (приведенный показатель точности); приведенные затраты на систему (приведенный показатель стоимости); — масса системы (являющаяся первичным, а не приведенным показателем).

Для сокращения числа учитываемых показателей качества применяется также приведение сравниваемых вариантов построения системы в сопоставимый вид. Очевидно, сравнение различных вариантов и построения системы было бы наиболее простым, если бы все составляющие вектора качества системы были у этих вариантов одинаковыми, за исключением одного, которому присвоим номер один. Тогда лучшим будет тот вариант, которому соответствует минимальное значение показателя . При этом, очевидно, задача векторного синтеза будет сведена к скалярному синтезу, т. е. предельно упрощена. Такие варианты, у которых значения всех показателей, кроме одного, совпадают, называются полностью сопоставимыми. Например, если вектор качества имеет вид

где - полная вероятность ошибки; пропускная способность; приведенные затраты,

и сравниваемые варианты различаются лишь значением приведенных затрат C, то такие варианты полностью сопоставимы. Если у всех сравниваемых вариантов совпадают значения не показателей, а меньшего (но не меньше одного) числа показателей, то такие варианты называются частично сопоставимыми. Например, если вектор качества имеет вид , и у всех вариантов совпадают значения лишь вероятности ошибки , то такие варианты лишь частично сопоставимы. Очевидно, что при сравнении систем те показатели качества , которое у всех вариантов системы совпадают, могут не включаться в состав вектора . Поэтому приведение систем в сопоставимый вид позволяет сократить число учитываемых показателей качества даже в случае частичной сопоставимости. Методы приведения систем к сопоставимому виду подробно рассмотрены в [61]. Рассмотрим лишь несколько иллюстрирующих примеров.

Пример 1. Сравниваются по показателю системы передачи дискретной информации с AM и ЧМ при действии внутреннего шума с интенсивностью . Их удобно сравнивать при одинаковых значениях показателей и (и одинаковых значениях интенсивности внутреннего шума). Но при одинаковых значениях и в системе AM требуется большее значение мощности входного сигнала, что приводит к соответствующему увеличению затрат ; с другой стороны, система AM проще. Это, при прочих равных условиях, позволяет сократить затраты . Поэтому, сравнив результирующие затраты в вариантах AM и ЧМ, можно отдать предпочтение тому варианту, в котором эти затраты окажутся меньшими. Следовательно, в данном примере сравнение вариантов по затратам при одинаковых значениях и обеспечивает их полную сопоставимость [в рамках вектора качества ].

Пример 2. Те же, что и в Мримере 1, варианты ЧМ и AM сравниваются по большему числу показателей, а именно вектор К имеет вид

где требуемая полоса пропускания, а требуемая мощность сигнала (передатчика).

Полоса и учитывает требование ЭМС (чем меньше , тем лучше ЭМС), а — комплексный показатель — его уменьшение улучшает (при прочих равных условиях) целый ряд свойств системы (затраты , массу , ЭМС и ЭКС). Сравнение вариантов AM и ЧМ можно производить по-прежнему при одинаковых значениях и . Но при этом у них в общем случае будут различные значения показателей , и . Изъять показатель , переведя его в соответствующее изменение затрат , в данном примере нельзя, так как здесь величина характеризует не только затраты, но и ЭМС, и ЭКС. Можно, правда, попытаться изъять как отдельный показатель качества, пересчитав увеличение мощности в дополнительные затраты, которые потребляются для обеспечения ЭМС и ЭКС при большей мощности. Однако такой переучет не всегда допустим. Например, если мощность превысит международную норму на ЭМС, то это нарушение, как правило, нельзя переводить на деньги. Увеличение мощности может привести также к увеличению массы , которое в случае бортового передатчика часто совершенно недопустимо и поэтому не может быть переведено в рост затрат . Часто нельзя свести к увеличению затрат и увеличение полосы (в случае ЧМ). Таким образом, в этом случае, как правило, можно обеспечить лишь частичную сопоставимость. Но и такая сопоставимость весьма полезна, так как позволяет сравнивать варианты лишь по трем показателям вместо пяти.

Из рассмотренных примеров следует, что приведение систем в сопоставимый вид позволяет сократить число учитываемых показателей. Однако, как правило (особенно при большом числе первичных показателей), удается обеспечить лишь частичную сопоставимость — число показателей, которые необходимо учитывать, остается большим единицы, и, следовательно, для обеспечения сравнения требуется применить безусловный, условный или смешанный критерий предпочтения.

Выясним теперь, в какой мере решение задачи сравнения систем, производимое применением БКП или УКП, может считаться однозначным (единственным). Как уже отмечалось, каждой конкретной комбинации показателей , т. е. каждому значению вектора , соответствует не одна система, а некоторый класс. Поэтому и БКП, и УКП не позволяют сравнить системы «внутри» данного класса: для осуществления такого сравнения, т. е. для сужения класса систем до единственной совершенно определенной системы, потребовалось бы ввести, строго говоря, бесконечное число показателей качества. Однако практически, если число показателей достаточно велико, можно считать класс систем, обладающих данным значением вектора , настолько узким, что его можно рассматривать как некоторую достаточно определенную систему. Поэтому в дальнейшем будем полагать решение задачи сравнения систем единственным, если его удалось довести до выбора вполне определенного значения вектора (и, следовательно, до выбора вполне определенного достаточно узкого класса систем).

При применении БКП, в общем случае сравнение систем (векторов К) удается довести до выбора не одного значения вектора (одной точки в пространстве ), а множества нехудших векторов (точек, систем). Лишь в том частном случае, когда множество оказывается вырожденным, решение доводится до выбора единственного значения вектора , которое при этом оказывается безусловно лучшим, т.е. безусловно оптимальным (при определенных исходных данных ).

В этом частном случае БКП является безусловным критерием оптимальности (критерием безусловной оптимальности). В остальных же случаях (т. е. при невырожденном множестве ) БКП является лишь критерием предпочтения, а не оптимальности.

При использовании УКП системы сравниваются по результирующему показателю качества , а исходные (частные) показатели при этом рассматриваются лишь как некоторые варьируемые параметры, влияющие на в соответствии с видом выбранной результирующей целевой функции . При этом, как уже отмечалось, решение задачи сравнения систем всегда приводит к некоторому единственному значению — минимальному (по всему множеству ) , которое считается при этом наилучшим возможным, т. е. оптимальным.

Как следует из , величина ' является функцией вектора качества . Поэтому минимум значения (по всем строго допустимым значениям вектора и соответствующим классам систем) может иметь место либо при одном вполне определенном значении вектора , либо при двух или более значениях этого вектора. Будем говорить, что решение задачи сравнения систем в первом случае однозначно в смысле значения вектора , а во втором случае — неоднозначно в смысле вектора . В том, что решение задачи может быть неоднозначно, нетрудно убедиться на следующем простом примере.

Пусть сравниваются три варианта построения системы, обладающие следующими значениями показателей качества: для : ; для  : ; для : .

На основе БКП ни одному из вариантов нельзя отдать предпочтение — они все являются нехудшими. Пусть введен результирующий показатель качества вида . Такой УКП дает следующие результаты: для : , для : ; для : .

Для первых двух вариантов значение оказалось одинаковым () и лучшим, чем для варианта для . Следовательно, на основе данного УКП довести результат сравнения систем до выбора единственного (в смысле значения вектора для ) варианта невозможно.

Таким образом, при применении как БКП, так и УКП результат сравнения систем может быть как однозначным, так и неоднозначным. Если результат сравнения оказывается однозначным, т. е. приводит к выбору единственной (наилучшей, оптимальной) системы, то данный критерий предпочтения превращается в критерий оптимальности.

Из всего изложенного следует, что при использовании БКП однозначное решение сравнительно редко. При применении же УКП, напротив, исключением является неоднозначное решение. Поэтому, как правило, УКП, а не БКП является критерием оптимальности. Однако при применении УКП эта оптимальность вследствие условности самого критерия предпочтения оказывается весьма условной.

В заключение рассмотрим, как поступать в тех случаях, когда на основе принятого критерия предпочтения (БКП или УКП) решение оказалось неоднозначным (в смысле значения вектора ). Если неоднозначность возникла при использовании БКП, то на последующих этапах проектирования ее можно устранить, применив соответствующий УКП. Если надлежащий УКП достаточно объективно обосновать не удается, то остаются следующие возможности:

  1. Сузить множество нехудших систем соответствующей корректировкой исходных данных (например, введением дополнительных ограничений ), если целесообразность такой корректировки может быть обоснована;
  2. Выбрать для дальнейших этапов проектирования любой из нехудших вариантов;
  3. Отказаться от выбора единственного варианта и оставить для дальнейшего проектирования (или даже для изготовления) несколько нехудших вариантов.

Например, если окажется, что невозможно обоснованно предпочесть вариант системы со сложным сигналом варианту с простым сигналом, то в ряде случаев может оказаться целесообразным выпускать системы с различными (не перестраиваемыми в процессе функционирования) сигналами — каждая из них найдет впоследствии свою целесообразную область применения. Так, промышленность выпускает радиолы нескольких классов. Радиолы высшего класса обладают значительно лучшим качеством воспроизведения звука, но имеют большие массу, габаритные размеры и стоимость. Радиолы низшего класса, напротив, имеют более низкое (но во многих случаях приемлемое) качество воспроизведения сообщений, но зато значительно лучшие значения таких показателей, как стоимость, масса и габаритные размеры.

Если неоднозначность возникла при применении УКП, то возможны следующие решения:

  1. Проверить обоснованность данного УКП, т. е. возможность и целесообразность корректировки вида УКП. Некоторое изменение УКП, осуществляемое путем более глубокого его обоснования, может привести к устранению неоднозначности решения;
  2. Провести соответствующую корректировку исходных данных ;
  3. Принять в качестве оптимальной любую из систем, обладающих данным значением , несмотря на различия в значениях вектора ;
  4. Отказаться от выбора единственной системы и принять решение о проектировании (или производстве) систем нескольких классов.

Примечания

  1. В (1) знак равенства соответствует границе области, а знак меньше или равно указывает, что приемлемые точки должны находиться внутри этой области или на ее границе.

См. также