Вейвлет-преобразование (Спектральный метод)

Материал из Национальной библиотеки им. Н. Э. Баумана
Последнее изменение этой страницы: 16:19, 2 июня 2016.
Open book.svg Авторство
Чичварин Н. В.
Согласовано: 13.05.2016
Статья по учебной дисциплине
Название дисциплины:

Обнаружение и распознавание сигналов

Раздел:

8. Распознавание и идентификация сигналов на физическом уровне

Глава:

8.2 Обнаружение и распознавание объектов изображений

Преподаватель:

Чичварин Н. В.

Вейвлет-преобразование — интегральное преобразование, которое представляет собой свертку вейвлет-функции с сигналом. Вейвлет-преобразование переводит сигнал из временного представления в частотно-временное.

Содержание

Принцип вейвлет-преобразования

Гармонические базисные функции преобразования Фурье предельно локализованы в частотной области и не локализованы во временной (определены во всем временном интервале от до ). Вейвлеты должны быть локализованными как во временной, так и в частотной области представления. Однако при проектировании таких функций неминуемо сталкиваются с принципом неопределенности, связывающим эффективные значения длительности функций и ширины их спектра. Чем точнее осуществляется локализация временного положения функции, тем шире становится ее спектр, и наоборот, что наглядно видно на рис. 1.

Рис. 1. Функции вейвлетов и спектр.

Отличительной особенностью вейвлет-анализа является то, что в нем можно использовать семейства функций, реализующих различные варианты соотношения неопределенности. Вейвлетный базис пространства , целесообразно конструировать из финитных функций, принадлежащих этому же пространству, которые должны стремиться к нулю на бесконечности. Чем быстрее эти функции стремятся к нулю, тем удобнее использовать их в качестве базиса преобразования при анализе реальных сигналов. Допустим, что такой функцией является psi-функция , равная нулю за пределами некоторого конечного интервала и нулевое среднее значение по интервалу задания. Последнее необходимо для задания определенной локализации спектра вейвлета в частотной области.

Функция изменения частотной независимой переменной в спектральном представлении сигналов отображается во временном представлении растяжением/сжатием сигнала. Для вейвлетного базиса это можно выполнить функцией типа , т.е. путем линейной операции растяжения/сжатия, обеспечивающей самоподобие функции на разных масштабах представления. Однако конечность (локальность) функции на временной оси требует дополнительной независимой переменной последовательных переносов (сдвигов) функции вдоль оси (параметра локализации), типа , для перекрытия всей числовой оси пространства . C учетом обоих условий одновременно структура базисной функции может быть принята следующей:

Для упрощения дальнейших выкладок значения переменных и примем целочисленными. При приведении функции к единичной норме, получаем:

Если для семейства функций выполняется условие ортогональности:

то семейство может использоваться в качестве ортонормированного базиса пространства . Отсюда следует, что произвольная функция этого пространства может быть представлена в виде ряда (разложения по базису ):

где коэффициенты представления сигнала – проекции сигнала на новый ортогональный базис функций, как и в преобразовании Фурье, определяются скалярным произведением
при этом ряд равномерно сходится, то есть

При выполнении этих условий базисная функция преобразования называется ортогональным вейвлетом. Простейшим примером ортогональной системы функций такого типа являются функции Хаара. Базисная функция Хаара определяется соотношением

Легко проверить, что при две любые функции, полученные с помощью этого базисного вейвлета путем масштабных преобразований и переносов, имеют единичную норму и ортогональны. На рис. 2 приведены примеры функций для первых трех значений и при различных их комбинациях, где ортогональность функций видна наглядно.

Рис. 2. Функции Хаара.

Определение вейвлета

В общем случае к вейвлетам относятся локализованные функции, которые конструируются из одного материнского вейвлета (или по любой другой независимой переменной) путем операций сдвига по времени и изменения временного масштаба :

где множитель () обеспечивает независимость нормы функций от масштабирующего числа .

Непрерывное (интегральное) вейвлет-преобразование сигнала , которое применяется для качественного частотно-временного анализа, по смыслу соответствует преобразованию Фурье с заменой гармонического базиса на вейвлетный :

Вейвлетный масштабно-временной спектр в отличие от Фурье-спектра является функцией двух аргументов: временного масштаба вейвлета (в единицах, обратных частоте), и временному смещению вейвлета по сигналу (в единицах времени), при этом параметры и могут принимать любые значения в пределах областей их определения. На рис. 3 приведены примеры простейших неортогональных вейвлетов четного (Mhat) и нечетного (Wave) типов.

Рис. 3. Вейвлеты Mhat и Wave.

Для количественных методов анализа (декомпозиция сигналов с возможностью последующей линейной реконструкции сигналов из обработанных вейвлет-спекторов) строго с математических позиций в качестве вейвлетных базисов можно использовать любые локализованные функции , если для них существуют функции-двойники (парные функции) , такие, что семейства и могут образовывать парные базисы функционального пространства . Вейвлеты, определенные таким образом, позволяют представить любую произвольную функцию в пространстве в виде ряда:

где коэффициенты проекции сигнала на вейвлетный базис пространства, которые определяются скалярным произведением

Если вейвлет обладает свойством ортогональности, то и вейвлетный базис ортогонален. Вейвлет может быть неортогональным, однако если он имеет двойника, и пара дает возможность сформировать семейства и , удовлетворяющие условию биортогональности на целых числах I:

то возможно разложение сигналов на вейвлетные ряды с построением обратной формулы реконструкции. С точностью обратного вейвлет-преобразования связано большинство ограничений, накладываемых на вейвлеты.

Свойства вейвлета

  • Локализация. Вейвлет должен быть непрерывным, интегрируемым, иметь компактный носитель и быть локализованным как во времени (в пространстве), так и по частоте. Если вейвлет в пространстве сужается, то его «средняя» (доминирующая) частота повышается, спектр вейвлета перемещается в область более высоких частот и расширяется. Этот процесс должен быть линейным – сужение вейвлета вдвое должно повышать его доминирующую частоту и ширину спектра также вдвое.

Вейвлетную функцию можно считать достаточно хорошо локализованной при выполнении условий:

, при
  • Нулевое среднее значение, т.е. выполнение условия для нулевого момента:
,

что обеспечивает выделение локальных особенностей сигналов в пределах вейвлетного носителя на уровне региональных изменений и тренда, нулевое усиление постоянной составляющей сигналов с нулевым значением частотного спектра вейвлета при , и локализацию спектра вейвлета в виде полосового фильтра с центром на определенной (доминирующей) частоте вейвлетной функции. Для игнорирования регулярных полиномиальных составляющих сигнала и анализа мелкомасштабных флюктуаций и особенностей высокого порядка, как правило, требуются и нулевые значения определенного количества последующих моментов:

Такие вейвлеты называются вейвлетами -го порядка.

  • Ограниченность. Необходимое и достаточное условие:

Оценка хорошей ограниченности и локализации может выполняться с использованием выражений:

, или
где – средняя частота вейвлета.

Число должно быть как можно больше.

  • Автомодельность базиса или самоподобие. Форма всех базисных вейвлетов должна быть подобна материнскому вейвлету , т.е. должна оставаться одной и той же при сдвигах и масштабировании (растяжении/сжатии), иметь одно и то же число осцилляций.

Отображение преобразования.

Результатом вейвлет-преобразования одномерного числового ряда (сигнала) является двумерный массив значений коэффициентов . Распределение этих значений в пространстве - временной масштаб, временная локализация, дает информацию об изменении во времени относительного вклада в сигнале вейвлетных компонент разного масштаба и называется спектром коэффициентов вейвлет-преобразования, масштабно-временным (частотно-временным) спектром или просто вейвлет-спектром (wavelet spectrum).

Спектр одномерного сигнала представляет собой поверхность в трехмерном пространстве.

Вейвлетные функции

Выбор анализирующего вейвлета во многом определяется тем, какую информацию необходимо извлечь из сигнала. С учетом характерных особенностей различных вейвлетов во временном и в частотном пространстве, можно выявлять в анализируемых сигналах те или иные свойства и особенности, которые незаметны на графиках сигналов, особенно в присутствии сильных шумов. При этом задача реконструкции сигнала может и не ставиться, что расширяет семейство используемых регулярных и симметричных вейвлетных функций. Более того, вейвлет может конструироваться непосредственно под ту локальную особенность в сигнале, которая подлежит выделению или обнаружению, если ее форма априорно известна.

При анализе сигналов вейвлетами четного типа (симметричными или близкими к симметричным) гармоническим сигналам обычно соответствуют яркие горизонтальные полосы вейвлетных пиков и впадин на доминирующих частотах вейвлетов, совпадающих с частотой гармоник сигналов. Нарушения гладкости сигналов фиксируются вертикальными полосами, пики в сигналах выделяются максимумами, а впадины – минимумами вейвлетных коэффициентов. Напротив, вейвлеты нечетного типа более резко реагируют на скачки и быстрые изменения в сигналах, отмечая их максимумами или минимумами в зависимости от знака дифференциалов. Чем резче выражены особенности сигналов, тем сильнее они выделяются на спектрограммах.

Вейвлетный спектр

В отличие от преобразования Фурье, является двумерным и определяет двумерную поверхность в пространстве переменных и . При графическом представлении параметр растяжения/сжатия спектра m откладывается по оси абсцисс, параметр локализации k по оси ординат – оси независимой переменной сигнала.

Для выбранного начального значения масштабного коэффициента сжатия m определяется функция вейвлета и вычисляется скалярное произведение сигнала с вейвлетом с аргументом по сдвигу . Максимальные значения скалярного произведения отмечаются в сигнале там, где локализована эта же вейвлетная функция.

Чем точнее локальная особенность сигнала совпадает с соответствующей функцией вейвлета, тем эффективнее выделение этой особенности на соответствующей масштабной строке вейвлетного спектра. Нетрудно видеть также, что для сильно сжатого вейвлета Хаара характерной хорошо выделяемой локальной особенностью является скачок сигнала, причем выделяется не только скачок функции, но и направление скачка.

Чем точнее локальная особенность сигнала совпадает с соответствующей функцией вейвлета, тем эффективнее выделение этой особенности на соответствующей масштабной строке вейвлетного спектра. Нетрудно видеть также, что для сильно сжатого вейвлета Хаара характерной хорошо выделяемой локальной особенностью является скачок сигнала, причем выделяется не только скачок функции, но и направление скачка.

Основы вейвлет-преобразования

В основе вейвлет-преобразований, в общем случае, лежит использование двух непрерывных, взаимозависимых и интегрируемых по независимой переменной функций:

  • вейвлет-функции , как psi-функции времени с нулевым значением интеграла и частотным фурье-образом . Этой функцией, которую обычно и называют вейвлетом, выделяются детали сигнала и его локальные особенности. В качестве анализирующих вейвлетов обычно выбираются функции, хорошо локализованные и во временной, и в частотной области.
  • масштабирующей функции , как временной скейлинг-функции phi с единичным значением интеграла, с помощью которой выполняется грубое приближение (аппроксимация) сигнала.
Рис. 4. Вейвлетные функции в двух масштабах.

Phi-функции присущи не всем, а, как правило, только ортогональным вейвлетам. Они необходимы для преобразования нецентрированных и достаточно протяженных сигналов при раздельном анализе низкочастотных и высокочастотных составляющих.

Базисные функции вейвлет – преобразования

Базисными функциями вейвлет-преобразований, которые собственно и называются вейвлетами, могут быть самые различные функции с компактным носителем - модулированные импульсами синусоиды, функции со скачками уровня и т.п. Они обеспечивает хорошее отображение и анализ сигналов с локальными особенностями, в том числе со скачками, разрывами и перепадами значений с большой крутизной, при подборе соответствующего типа вейвлетов.[1]

Следует, однако, различать вейвлеты по целевым задачам вейвлетных преобразований с позиций декомпозиции – реконструкции сигналов. По аналогии с преобразованием Фурье, было бы желательно иметь такое вейвлет-преобразование сигналов, которое обеспечивало бы полную информационную эквивалентность нового представления сигналов (вейвлетного спектра) временному (динамическому, координатному) представлению, и, соответственно, однозначность как декомпозиции сигналов, так и их реконструкции из вейвлетных спектров. Однако это возможно только при использовании ортогональных базисных функций, к числу которых относится достаточно ограниченное количество ортогональных и биортогональных вейвлетов. Вместе с тем для качественного анализа сигналов и локальных особенностей в сигналах может применяться гораздо более обширная номенклатура вейвлетных функций, которые хотя и не обеспечивают реконструкцию сигналов, но позволяют по новому оценить информационное содержание сигналов и динамику изменения этой информации.

Свойства вейвлет – преобразования

Результаты вейвлет-преобразования, как скалярного произведения вейвлета и сигнальной функции, содержат комбинированную информацию об анализируемом сигнале и самом вейвлете. Получение определенной объективной информации об анализируемом сигнале базируется на свойствах вейвлет-преобразования, общих для вейвлетов всех типов. Рассмотрим основные из этих свойств. Для обозначения операции вейвлет-преобразования произвольных функций будем применять индекс .

  • Линейность

Для векторных функций из этого следует, что векторной функции есть вектор с компонентами каждой из компонент анализируемого вектора в отдельности.

  • Инвариантность относительно сдвига. Сдвиг сигнала во времени на приводит к сдвигу вейвлет-спектра также на :
  • Инвариантность относительно масштабирования. Растяжение (сжатие) сигнала приводит к растяжению (сжатию) вейвлет-спектра сигнала:
  • Дифференцирование

Отсюда следует, что безразлично, дифференцировать ли функцию или анализирующий вейвлет. Если анализирующий вейвлет задан формулой, то это может быть очень полезным для анализа сигналов. Проанализировать особенности высокого порядка или мелкомасштабные вариации сигнала с игнорированием крупномасштабных полиномиальных составляющих (тренда и регионального фона) можно дифференцированием нужного числа раз либо вейвлета, либо самого сигнала. Это свойство особенно полезно, когда сигнал задан дискретным рядом.

Определения и свойства одномерного непрерывного вейвлет-преобразования обобщаются на многомерный и на дискретный случаи.

Идея вейвлет-преобразования

Рис. 5. Примеры материнских вейвлетов

Идея вейвлет - преобразования состоит в разложении сигнала (функции-изображения) по системе функций, имеющих локальный всплеск и быстро убывающих на бесконечности. Обычно такие функции вейвлет-преобразования выводятся из так называемого материнского вейвлета. Материнский вейвлет - это функция :

т.е. ; также предполагается, что

Материнский вейвлет преобразовывается следующим образом:


где

В общем случае вейвлет - преобразование записывается так:

При практическом применении вейвлет - преобразования анализ такого мощного (а именно континуум) множества коэффициентов невозможен. Поэтому выбираются из счетного подмножества плоскости . Обычно материнский вейвлет и множество значений выбирают так, чтобы система образовывала ортонормированный базис в пространстве . Тогда любую функцию из этого пространства можно разложить по этому базису .

Применение вейвлет - преобразования к дискретному сигналу (например, изображению). Для простоты рассмотрим одномерный случай - последовательность конечной длины . Тогда, при условии, что материнский вейвлет , преобразование можно записать так:

где

В алгоритме JPEG2000 используются вейвлеты Добеши.

В матричном виде для действия на вектор длины 8 данное преобразование задается так:

где:
, , , , , , , .

Как видно, матрица имеет размеры из-за необходимости участия в суммировании четырех компонент. Т.е. на самом деле, такая матрица умножается на следующий вектор:

Обычно полагают либо , либо . Использование вейвлет-преобразований при сжатии изображений аналогично использованию дискретного косинус-преобразования в алгоритме JPEG, т.е. само преобразование - лишь ступень конвейера сжатия.

Вейвлет - преобразования имеют очень хорошую частотно-пространственную локализацию и по этому показателю превосходят традиционные косинус-преобразования и другие преобразования Фурье. Таким образом, становится возможным применять более сильное квантование, улучшая свойства последовательности для последующего сжатия без потерь. Алгоритмы сжатия изображений, основанные на этом преобразовании, при той же степени сжатия показывают лучшие результаты по сохранению качества изображения. К тому же вычислительная сложность очень низка и составляет (здесь - длина последовательности, к которой применяется преобразование). Однако распространенность форматов, использующих сжатие на основе вейвлет - преобразования, невелика из-за наличия патентов, а также из-за большой распространенности обычного JPEG, дающего вполне приемлемые результаты.

Непрерывное вейвлет-преобразование (НВП)

Допустим, что имеется функции с конечной энергией (нормой) в пространстве , определенные по всей действительной оси . Для финитных сигналов с конечной энергией средние значения сигналов, как и любых других функций из пространства , должны стремиться к нулю на .

Непрерывным вейвлет - преобразованием (или вейвлетным образом) функции называют функцию двух переменных:

где
, а вейвлеты масштабированные и сдвинутые копии порождающего вейвлета , совокупность которых создает новый базис пространства .

Порождающими функциями могут быть самые различные функции с компактным носителем - ограниченные по времени и местоположению на временной оси, и имеющие спектральный образ, в определенной степени локализованный на частотной оси. Как и для рядов Фурье, базис пространства целесообразно конструировать из одной порождающей функции, норма которой должна быть равна 1. Для перекрытия локальной функцией вейвлета всей временной оси пространства используется операция сдвига (смещения по временной оси): , где значение для непрерывного вейвлет-преобразования также является величиной непрерывной. Для перекрытия всего частотного диапазона пространства используется операция временного масштабирования вейвлета с непрерывным изменением независимой переменной: . Если временной образ вейвлета будет расширяться (изменением значения параметра ), то его «средняя частота» будет понижаться, а частотный образ (частотная локализация) перемещаться на более низкие частоты. Таким образом, путем сдвига по независимой переменной вейвлет имеет возможность перемещаться по всей числовой оси произвольного сигнала, а путем изменения масштабной переменной (в фиксированной точке временной оси) «просматривать» частотный спектр сигнала по определенному интервалу окрестностей этой точки.

С использованием этих операций вейвлетный базис функционального пространства образуется путем масштабных преобразований и сдвигов порождающего вейвлета :

где
.

Нетрудно убедиться, что нормы вейвлетов равны норме , что обеспечивает нормировочный множитель . При нормировке к 1 порождающего вейвлета все семейство вейвлетов также будет нормированным. Если при этом выполняется требование ортогональности функций, то функции будут представлять собой ортонормированный базис пространства .

Понятие масштаба ВП имеет аналогию с масштабом географических карт. Большие значения масштаба соответствуют глобальному представлению сигнала, а низкие значения масштаба позволяют различить детали. В терминах частоты низкие частоты соответствуют глобальной информации о сигнале (распределена на всей его протяженности), а высокие частоты - детальной информации и особенностям, которые имеют малую протяженность, т.е. масштаб вейвлета, как единица шкалы частотно-временного представления сигналов, обратен частоте. Масштабирование, как математическая операция, расширяет или сжимает сигнал. Большие значения масштабов соответствуют расширениям сигнала, а малые значения - сжатым версиям. В определении вейвлета коэффициент масштаба а стоит в знаменателе. Соответственно, расширяет сигнал, сжимает его.

Процедура преобразования стартует с масштаба и продолжается при увеличивающихся значениях , т.e. анализ начинается с высоких частот и проводится в сторону низких частот. Первое значение соответствует наиболее сжатому вейвлету. При увеличении значения вейвлет расширяется. Вейвлет помещается в начало сигнала , перемножается с сигналом, интегрируется на интервале своего задания и нормализуется на . При задании четных или нечетных функций вейвлетов результат вычисления помещается в точку масштабно-временного спектра преобразования. Сдвиг может рассматриваться как время с момента , при этом координатная ось , по существу, повторяет временную ось сигнала. Для полного включения в обработку всех точек входного сигнала требуется задание начальных (и конечных) условий преобразования (определенных значений входного сигнала при и на полуширину окна вейвлета). При одностороннем задании вейвлетов результат относится, как правило, к временному положению средней точки окна вейвлета.

Затем вейвлет масштаба сдвигается вправо на значение и процедура повторяется. Получаем значение, соответствующее в строке на частотно-временном плане. Процедура повторяется до тех пор, пока вейвлет не достигнет конца сигнала. Таким образом получаем строку точек на масштабно-временном плане для масштаба а=1.

Для вычисления следующей масштабной строки значение а увеличивается на некоторое значение. При непрерывном вейвлет-преобразовании в аналитической форме и . При выполнении преобразования в компьютере вычисляется аппроксимация с увеличением обоих параметров с определенным шагом. Тем самым мы осуществляем дискретизацию масштабно-временной плоскости.

Начальное значение масштабного коэффициента может быть и меньше 1. В принципе, для детализации самых высоких частот сигнала минимальный размер окна вейвлета не должен превышать периода самой высокочастотной гармоники. Если в сигнале присутствуют спектральные компоненты, соответствующие текущему значению , то интеграл произведения вейвлета с сигналом в интервале, где эта спектральная компонента присутствует, дает относительно большое значение. В противном случае - произведение мало или равно нулю, т.к. среднее значение вейвлетной функции равно нулю. С увеличением масштаба (ширины окна) вейвлета преобразование выделяет все более низкие частоты.

В общем случае, значения параметров и являются непрерывными, и множество базисных функций является избыточным. В силу этого непрерывное преобразование сигналов содержит очень большой объем информации. Сигналу, определенному на , соответствует вейвлетный спектр на . C позиций сохранения объема информации при преобразованиях сигналов отсюда следует, что вейвлетный спектр непрерывного вейвлет-преобразования имеет огромную избыточность.

Дискретное вейвлет-преобразование

При обработке данных на ЭВМ выполняется дискретизированная версия непрерывного вейвлет-преобразования с заданием дискретных значений параметров вейвлетов с произвольным шагом и , но она требует большого числа вычислений. Кроме того, в результате получается избыточное количество коэффициентов, намного превосходящее число отсчетов исходного сигнала, которое не требуется для реконструкции сигналов.

Дискретное вейвлет-преобразование обеспечивает достаточно информации, как для анализа сигнала, так и для его синтеза, являясь вместе с тем экономным по числу операций и по требуемой памяти. Дискретное вейвлет-преобразование оперирует с дискретными значениями параметров и , которые задаются, как правило, в виде степенных функций:

где
пространство целых чисел
, параметр масштаба,
параметр сдвига.

Базис пространства в дискретном представлении:

Вейвлет-коэффициенты прямого преобразования:

В общем случае, значение может быть произвольным, но обычно принимается равным , при этом преобразование называется диадным вейвлет-преобразованием. Для диадного преобразования разработан быстрый алгоритм вычислений, аналогичный быстрому преобразованию Фурье, что предопределило его широкое использование при анализе дискретных функций и массивов цифровых данных.

Обратное дискретное преобразование для непрерывных сигналов при нормированном ортогональном вейвлетном базисе пространства:

Число практически использованных вейвлетов по масштабному коэффициенту задает уровень декомпозиции сигнала, при этом за нулевой уровень обычно принимается уровень максимального временного разрешения сигнала, т.е. сам сигнал, а последующие уровни образуют ниспадающее вейвлет-дерево. В программном обеспечении вычислений для исключения использования отрицательной нумерации по знак «минус» обычно переносится непосредственно в уравнение ниже, т.е. используется следующее представление базисных функций:

, ,

Устойчивость дискретного базиса определяется далее.

Функция . называется -функцией, если базис на ее основе является базисом Рисса (Riesz). Для базиса Рисса существуют значения и , для которых выполняется соотношение

,

если энергия ряда конечна. При этом для любой -функции существует базис , который ортогонален базису . Его называют ортогональным «двойником» базиса , таким, что:

Если и ,

то семейство базисных функций является ортонормированным базисом и возможно полное восстановление исходного сигнала, при этом . Если не ортогональный вейвлет, но имеет «двойника», то на базе «двойника» вычисляется семейство , которое и используется при обратном преобразовании вместо , при этом точное восстановление исходного сигнала не гарантировано, но оно будет близко к нему в среднеквадратическом смысле.

Как и для непрерывного вейвлет-преобразования, обратное дискретное преобразование не может выполнить восстановление нецентрированных сигналов в силу нулевого первого момента вейвлетных функций и, соответственно, центрирования значения вейвлет-коэффициентов при прямом вейвлет-преобразовании. Поэтому при обработке числовых массивов данных дискретные вейвлеты используются, как правило, в паре со связанными с ними дискретными скейлинг-функциями. Скейлин-функции имеют с вейвлетами общую область задания и определенное соотношение между значениями (формой), но первый момент скейлин-функций по области определения равен 1. Если вейвлеты рассматривать, как аналоги полосовых фильтров сигнала, в основном, высокочастотных при выделении локальных особенностей в сигнале, то скейлин-функции вейвлетов представляет собой аналоги низкочастотных фильтров, которыми из сигнала выделяются в отдельный массив составляющие, не прошедшие вейвлетную фильтрацию. Так, например, порождающая скейлинг-функция вейвлета Хаара задается следующим выражением:

При обозначении скейлинг-функций индексом аналитика скейлин-функций повторяет выражения и образует дополнительный базис пространства . Сумма вейвлет-коэффициентов и скейлинг-коэффициентов разложения сигналов соответственно дает возможность выполнять точную реконструкцию сигналов, при этом используется следующее выражение обратного вейвлет-преобразования:

где
скейлин-коэффициенты, которые обычно называют коэффициентами аппроксимации сигнала,
– вейвлет-коэффициенты или коэффициенты детализации.

Частотно-временная локализация вейвлет-анализа

Реальные сигналы, как правило, конечны и принадлежат пространству . Частотный спектр сигналов обратно пропорционален их длительности. Соответственно, достаточно точный низкочастотный анализ сигналов должен производиться на больших интервалах его задания, а высокочастотный – на малых. Если частотный состав сигнала претерпевает существенные изменения на интервале его задания, то преобразование Фурье дает только усредненные данные частотного состава сигнала с постоянным частотным разрешением. Определенная частотно-временная локализация анализа создается применением оконного преобразования Фурье, что дает семейства частотных спектров, локализованных во времени, но в пределах постоянной ширины окна оконной функции, а, следовательно, также с постоянным значением и частотного, и временного разрешения.

В отличие от оконного преобразования Фурье, вейвлет-преобразование, при аналогичных дискретных значениях сдвигов , дает семейства спектров масштабных коэффициентов а сжатия-растяжения

Рис. 6. Частотно-временные окна преобразования

Если считать, что каждый вейвлет имеет определенную «ширину» своего временного окна, которому соответствует определенная «средняя» частота спектрального образа вейвлета, обратная его масштабному коэффициенту , то семейства масштабных коэффициентов вейвлет-преобразования можно считать аналогичными семействам частотных спектров оконного преобразования Фурье, но с одним принципиальным отличием. Масштабные коэффициенты изменяют «ширину» вейвлетов и, соответственно, «среднюю» частоту их фурье-образов, а, следовательно, каждой частоте соответствует своя длительность временного окна анализа, и наоборот. Так, малые значения параметра а, характеризующие быстрые составляющие в сигналах, соответствуют высоким частотам, а большие значения (соответствующие медленным изменениям сигнала) – низким частотам. Таким образом, за счёт изменения масштаба вейвлеты способны выявлять различия на разных частотах, а за счёт сдвига (параметр ) проанализировать свойства сигнала в разных точках на всём исследуемом временном интервале. В какой-то мере можно говорить о том, что многоразмерное временное окно вейвлет-преобразования адаптировано для оптимального выявления и низкочастотных, и высокочастотных характеристики сигналов.

Для произвольной оконной функции ее центр и радиус определяются формулами:


Рис. 7. Угол влияния значений функции

Если по этим функциям определить центры и радиусы вейвлетов и их фурье-образов, то временная локализация происходит с центрами окон шириной ,а частотная – с центрами , и с шириной окна . При этом значение отношения центральной частоты к ширине окна не зависит от местоположения центральной частоты. Частотно-временное окно сужается при высокой центральной частоте, и расширяется при низкой. Схематическое изображение частотно-временных окон преобразования приведено на рис. 6. Таким образом, на высоких частотах лучше разрешение по времени, а на низких - по частоте. Для высокочастотной компоненты сигнала можно точнее указать ее временную позицию, а для низкочастотной - ее значение частоты.

Изменение частотно-временного окна вейвлета определяет угол влияния значений функции в произвольных точках на значения коэффициентов . И наоборот, угол влияния из точки на ось определяет интервал значений функции, которые принимают участие в вычислении данного коэффициента – область достоверности. Схематически это показано на рис. 7.

По углу влияния наглядно видно, что высокочастотная (мелкомасштабная) информация вычисляется на основе малых интервалов сигналов, а низкочастотная – на основе больших. Поскольку анализируемые сигналы всегда конечны, то при вычислении коэффициентов на границах задания сигнала область достоверности выходит за пределы сигнала, и для уменьшения погрешности вычислений сигнал дополняется заданием начальных и конечных условий (средним значением, предполагаемым временных ходом и т. п.). [2]

Образное представление преобразования

Представим себе длинный и узкий стеклянный ларь, произвольно заполненный шарами трех разных диаметров: 5, 10 и 15 см. Взглянем на ларь сбоку, и линию высоты насыпки будем считать значением сигнала в зависимости от расстояния от одного из торцов ларя (условно – нулевого).

Возьмем первый «вейвлет» – идеальное дифференциальное «сито» с диаметром отверстий d=5 см, через которое проходят только пятисантиметровые шары (аналог значения ). Передвигаясь вдоль ларя, «просеем» через это «сито» шары в ларе, не перемешивая их по расстоянию от нулевого торца ларя и размещая отсеиваемые шары в таком же ларе, сохраняя расстояние от начала ларя. Сменим масштаб «вейвлета» и повторим эту операцию «ситом» с диаметром отверстий 10, а затем 15 см. Если все три ларя расположить радом, мы получим двумерную «поверхность» насыпки отсеянных шаров, которая наглядно покажет распределение шаров в ларе и по размерам, и по их концентрации в различных участках ларя.

Данная модель разложения является довольно грубой, но интуитивно понятно, что обратная сборка шаров в ларь с сохранением их местоположения с определенной точностью восстановит высоту насыпки. Замените шары короткими фрагментами электронных сигналов произвольной, но одной и той формы в пределах диаметра шаров, например такими, как на рис. 6, сложите все значения сигналов по текущим значениям , и Вы получите сложный суммарный сигнал. Используя прямое вейвлет-преобразование с вейвлетами этих же составляющих, Вы можете разложить суммарный сигнал (и любой другой произвольный сигнал) на составляющие в масштабно-временной плоскости. Замените масштабную ось ширины вейвлетов на обратную ей частотную ось, и Вы представите результаты в частотно-временной плоскости. Заметим только, что точность, представительность и информативность результатов анализа во многом будут зависеть как от формы и особенностей анализируемого сигнала, так и от формы выбранных вами вейвлетов и параметров масштабирования и сдвига. Это определяется тем, что дифференциальное «сито» в примере с шарами – идеальная операция разделения, в то время как при вейвлет-преобразовании «идентификация» составляющих выполняется по скалярному произведению сигнала и функции вейвлета. Скалярное произведение в принципе не может давать однозначного ответа типа «да-нет», а только «наносит» на масштабно-временную плоскость определенные значения величины скалярного произведения. С одной стороны, выбор типа вейвлета вносит определенную субъективность исследователя в методику исследования сигналов, но, с другой стороны, дает исследователю новые возможности и свободу в поиске более эффективных и оптимальных методов обработки сигналов и извлечения из них необходимой информации.

Один уровень дискретного вейвлет - преобразования

ДВП сигнала получают применением набора фильтров. Сначала сигнал пропускается через низкочастотный (low-pass) фильтр с импульсным откликом , и получается свёртка:

Одновременно сигнал раскладывается с помощью высокочастотного (high-pass) фильтра . В результате получаются детализирующие коэффициенты (после ВЧ-фильтра) и коэффициенты аппроксимации (после НЧ-фильтра). Эти два фильтра связаны между собой и называются квадратурными зеркальными фильтрами (QMF).

Так как половина частотного диапазона сигнала была отфильтрована, то, согласно теореме Котельникова (если аналоговый сигнал имеет спектр, ограниченный частотой , то он может быть однозначно и без потерь восстановлен по своим дискретным отсчётам, взятым с частотой: , где — верхняя частота в спектре, или, по-другому, по отсчётам, взятым с периодом: Tдискр≤1/(2·Fmax), отсчёты сигналов можно проредить в 2 раза:


Такое разложение вдвое уменьшило разрешение по времени в силу прореживания сигнала. Однако каждый из получившихся сигналов представляет половину частотной полосы исходного сигнала, так что частотное разрешение удвоилось. Это согласуется с принципом неопределённости Гейзенберга, в квантовой механике.

Рис. 8. Схема разложения сигнала в ДВП

С помощью оператора прореживания

вышеупомянутые суммы можно записать короче:


Вычисление полной свёртки с последующим прореживанием — это излишняя трата вычислительных ресурсов.

Схема лифтинга является оптимизацией, основанной на чередовании этих двух вычислений.

Каскадирование и банки фильтров

Это разложение можно повторить несколько раз для дальнейшего увеличения частотного разрешения, с дальнейшим прореживанием коэффициентов после НЧ и ВЧ-фильтрации. Это можно представить в виде двоичного дерева, где листья и узлы соответствуют пространствам с различной частотно-временной локализацией. Это дерево представляет структуру банка (гребенки) фильтров.

Рис. 9. Трехуровневый банк (гребенка) фильтров

На каждом уровне вышеприведённой диаграммы сигнал раскладывается на низкие и высокие частоты. В силу двукратного прореживания, длина сигнала должна быть кратна , где — число уровней разложения.

Например, для сигнала из 32 отсчётов с частотным диапазоном от до трёхуровневое разложение даст 4 выходных сигнала в разных масштабах:

Таблица 1. Выходные сигналы трехуровневого разложения
Уровень Частоты

Длина сигнала

3 0...fn/8 4
fn/8...fn/4 4
2 fn/4...fn/2 8
1 fn/2...fn 16
Рис. 10. Представление ДВП в частотной области

Применение алгоритма вейвлет-преобразования для сжатия сигналов

Вейвлетная компрессия в современных алгоритмах компрессии изображений позволяет значительно (до двух раз) повысить степень сжатия чёрно-белых и цветных изображений при сравнимом визуальном качестве по отношению к алгоритмам предыдущего поколения, основанным на дискретном косинусном преобразовании, таких, например, как JPEG.

Для работы с дискретными изображениями используется вариант вейвлет-преобразования, известный как алгоритм Малла, названный в честь его изобретателя Стефана Малла́. Исходное изображение раскладывается на две составляющие — высокочастотные детали (состоящие в основном из резких перепадов яркости), и сглаженную уменьшенную версию оригинала. Это достигается применением пары фильтров, причём каждая из полученных составляющих вдвое меньше исходного изображения. Как правило, используются фильтры с конечным импульсным откликом, в которых пиксели, попавшие в небольшое «окно», умножаются на заданный набор коэффициентов, полученные значения суммируются, и окно сдвигается для расчёта следующего значения на выходе.

Поскольку изображения двумерны, фильтрация производится и по вертикали, и по горизонтали. Этот процесс повторяется многократно, причём каждый раз в качестве входа используется сглаженная версия с предыдущего шага. Так как изображения «деталей» состоят обычно из набора резких границ, то они содержат обширные участки где интенсивность близка к нулю. Если допустимо пренебречь некоторым количеством мелких деталей, то все эти значения можно просто обнулить. В результате получается версия исходного изображения, хорошо поддающаяся сжатию. Для восстановления оригинала снова применяется алгоритм Малла, но с парой фильтров, обратной к исходным.

Алгоритмы JPEG и MPEG, в отличие от вейвлетного, сжимают по отдельности каждый блок исходного изображения размером 8 на 8 пикселов. В результате, за счёт потери данных при сжатии, на восстановленном изображении может быть заметна блочная структура. При вейвлетном сжатии такой проблемы не возникает, но могут появляться искажения другого типа, имеющие вид «призрачной» ряби вблизи резких границ. Считается, что такие артефакты в среднем меньше бросаются в глаза наблюдателю, чем «квадратики», создаваемые JPEG.

Общая идея вейвлет преобразования многомерных сигналов заключается в декомпозиции многомерного сигнала до одномерных сигналов и, последующего их вейвлет преобразования с композицией результатов.

На основе частотного подхода к ВП прямое ВП изображения происходит следующим образом.

Предположим, что имеем изображение размером (рис. 11, а). Первоначально каждая из строк изображения делится (фильтруется) на низкочастотную (НЧ) и высокочастотную (ВЧ) половины. В результате получается два изображения размером (рис. 11, б). Далее каждый столбец делится точно также, в итоге получается четыре изображения размером (рис. 11, в): НЧ по горизонтали и вертикали (НЧНЧ1), ВЧ по горизонтали и вертикали (ВЧВЧ1), НЧ по горизонтали и ВЧ по вертикали (НЧВЧ1) и ВЧ по горизонтали и НЧ по вертикали (ВЧНЧ1). Первое из указанных выше изображений делится аналогичным образом на следующем шаге (уровне) преобразования (рис. 16 г) и т.д.

Рис. 11. Результат вейвлет-преобразования изображения

На рис. 12 даны реальное изображение (слева) и результат первого уровня его вейвлет-анализа, т.е. четыре изображения (слева направо, сверху вниз): НЧНЧ1, ВЧНЧ1, НЧВЧ1 и ВЧВЧ1.

Рис. 12. Пример вейвлет-преобразования изображения.

Любую упорядоченную последовательность данных, заданную аналитически (в виде некоторой функции) или перечислением ее значений, будем называть сигналом. Значение сигнала может зависеть от одного параметра (например, от времени) или от нескольких. Например, чёрно-белое фотографическое изображение можно считать двумерным сигналом, значением которого является яркость каждой точки изображения, а параметрами – координаты точки по горизонтали и по вертикали. При цифровой обработке сигнала над ним обычно выполняют некоторое преобразование, выявляющее характерные особенности данного сигнала и, выполнив определенные действия (например, подавление шума), делают обратное преобразование. Классическим примером является преобразование Фурье, переводящее сигнал из временной области в частотную и обратно. Преобразование, как прямое, так и обратное, рассчитывается путем вычисления свертки сигнала в каждой его точке с некоторой функцией, называемой фильтром. В дискретном случае фильтры задаются просто перечислением их значений (коэффициентов) в точках дискретизации. Учитывая статистические особенности большинства сигналов (полезная информация расположена в низкочастотной области спектра сигнала, а помехи или шум – в высокочастотной), сигнал обычно преобразуют с использованием двух дополняющих друг друга фильтров – низких и высоких частот. Вейвлеты, относятся к классу квадратурных зеркальных фильтров (КЗФ). Особенностью этого класса фильтров является то, что фильтр высоких частот получается из соответствующего фильтра низких частот простой перестановкой его коэффициентов в обратном порядке и изменением знака половины из них (только четных или только нечетных). При этом вейвлет выделяет локальные особенности сигнала в каждой точке и является, таким образом, фильтром высоких частот, а соответствующий фильтр низких частот описывается так называемой масштабирующей функцией.

Пусть, например, фильтр имеет носитель длиной 4 (т.е. описывается четырьмя коэффициентами в дискретном случае (Добеши 4)). Представим сигнал в виде вектора длиной , где – количество отсчетов. Тогда процесс преобразования сигнала можно записать в матричном виде:

Матрица процесса преобразования
C0 C1 C2 C3 0 0 ... 0 0 0 0 x F0
0 C0 C1 C2 C3 0 ... 0 0 0 0 F1
0 0 C0 C1 C2 C3 ... 0 0 0 0 F2
0 0 0 C0 C1 C2 ... 0 0 0 0 F3
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
0 0 0 0 0 0 ... C0 C1 C2 C3 Fn-3
C3 0 0 0 0 0 ... 0 C0 C1 C2 Fn-2
C2 C3 0 0 0 0 ... 0 0 C0 C1 Fn-1
C1 C2 C3 0 0 0 ... 0 0 0 C0 Fn

Здесь означают коэффициенты фильтра длиной 4, – значения отсчетов сигнала, символ – операция умножения матрицы на вектор. Коэффициенты в последних четырех строках матицы означают, что сигнал продолжается на всей числовую прямой периодическим образом (т.е. после значения снова идет значение ). В результате умножения матрицы размерностью на вектор длиной получается вектор такой же длины, а с учетом того, что в преобразовании участвуют два фильтра, даже два вектора длины вместо одного – казалось бы, никакого выигрыша мы не получили. Однако вейвлеты Добеши обладают следующим свойством: как сглаженное представление сигнала (т.е. обработанное масштабирующей функцией), так и его локальные особенности (полученные в результате вейвлет-преобразования) обладают избыточностью в два раза. Другими словами, для вейвлета длиной результат преобразования сигнала в каждой точке представляет собой некоторое «усреднение» сигнала и набор «деталей», отличающих исходный сигнал от усредненного – причем усредненный сигнал является в 2 раза «более гладким», чем исходный. Таким образом, каждый четный или каждый нечетный отсчет преобразования может быть исключен из рассмотрения, и в результате преобразования получаются два вектора вдвое меньшей длины, один из которых содержит сглаженную версию сигнала (или представление сигнала в половинном масштабе), а другой – набор локальных особенностей (то есть помехи на данном уровне детализации)! Что это дает? Во-первых, анализ сглаженного сигнала упрощает выявление его характерных свойств (например, нейросети гораздо лучше обучаются на сигналах, очищенных от шума, чем на зашумленных). Во-вторых, анализ локальных особенностей сигнала позволяет не только определить характер и параметры помех, но и четко локализовать «особые точки» сигнала – такие как выбросы, пропущенные значения, резкие скачки уровня и т.д. Более того, если полученный сигнал все еще недостаточно очищен от помех, мы можем повторно применить к нему вейвлет-преобразование и получить еще более гладкую версию сигнала (уже в четыре раза короче, чем исходный) и локальные особенности сигнала уже на следующем уровне детализации.

С учетом сказанного, можно выполнять преобразование сигнала не в каждой его точке, а только в тех, которые будут участвовать в дальнейшем рассмотрении, то есть только в четных или только в нечетных. Т.е. свертка вычисляется в половине точек, но в вычислении участвуют все последовательных точек, где – длина фильтра. Тогда матрица преобразования будет иметь размерность ( – четное) и примет следующий вид (имеются две матрицы: одна - для масштабирующей функции, другая – для вейвлета):

Таблица 3. Матрица преобразования
C0 C1 C2 C3 0 0 ... 0 0 0 0 x F0
0 0 C0 C1 C2 C3 ... 0 0 0 0 F1
0 0 0 0 C0 C1 ... 0 0 0 0 F2
0 0 0 0 0 0 ... 0 0 0 0 F3
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
0 0 0 0 0 0 ... 0 0 0 0 Fn-3
0 0 0 0 0 0 ... C2 C3 0 0 Fn-2
0 0 0 0 0 0 ... C0 C1 C2 C3 Fn-1
C2 C3 0 0 0 0 ... 0 0 C0 C1 Fn
C3 -C2 -C1 -C0 0 0 ... 0 0 0 0 x F0
0 0 C3 -C2 C1 -C0 ... 0 0 0 0 F1
0 0 0 0 C3 -C2 ... 0 0 0 0 F2
0 0 0 0 0 0 ... 0 0 0 0 F3
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
0 0 0 0 0 0 ... 0 0 0 0 Fn-3
0 0 0 0 0 0 ... C1 -C0 0 0 Fn-2
0 0 0 0 0 0 ... C3 -C2 C1 -C0 Fn-1
C1 -C0 0 0 0 0 ... 0 0 C3 -C2 Fn

Для нахождения значений коэффициентов можно использовать следующие свойства вейвлетов Добеши:

  • cдвиги вейвлета образуют ортонормированный базис пространства, т.е. другими словами, при попарном перемножении строк матрицы преобразования, должен получиться 0, а при умножении строки на саму себя – 1. Свойство ортогонормированности базиса означает, что матрица обратного преобразования представляет собой просто транспонированную матрицу прямого преобразования.
  • вейвлет длиной ( – четное) имеет нулевых начальных моментов, т.е.

Поскольку начальные моменты вейвлета инвариантны относительно сдвига вдоль его области определения, можно взять произвольные последовательные значения – например, . Количество нулевых моментов вейвлета означает, что если аппроксимировать исходный сигнал полиномиальными сплайнами степени , то вейвлет-преобразование «погасит» все полиномиальные составляющие степени от до (т.е. вейвлет-преобразование полинома определенной «гладкости» будет давать нулевой отклик).

Таким образом, для нахождения значений коэффициентов вейвлет-фильтра длиной 4, нужно решить систему из 4 алгебраических уравнений:

где первые два условия являются условиями ортогональности, а остальные — нулевыми моментами. Решением этой системы являются следующие значения:

, , ,

или

С0 = 0.4829629131445341

С1 = 0.8365163037378097

C2 = 0.2241438680420134

C3 = –0.1294095225512604

Соответственно, в случае вейвлета Добеши длиной 6 (3 нулевых момента) будем иметь 6 коэффициентов и 6 уравнений для их нахождения: 3 уравнения, вытекающих из условия ортогональности, и 3 уравнения нулевых моментов. Решение такой системы может быть представлено в виде:





Для выполнения обратного преобразования достаточно вычислить произведение транспонированных матриц коэффициентов на «сглаженный» вектор и вектор «деталей» соответственно и выполнить покомпонентное сложение результатов. Сдвиг коэффициентов в матрице на 2 означает в этом случае вставку нулей между отсчетами, при этом вектор длины дополняется до длины исходного вектора.

Известно, что свертке функций во временной области соответствует умножение их изображений в частотной области. Если сигнал представлен достаточно большой выборкой, то более эффективным методом выполнения преобразования является вычисление преобразования Фурье сигнала и фильтра, покомпонентное перемножение соответствующих векторов, вычисление обратного преобразования Фурье результата (при этом получаем избыточное представление) и «прореживание» преобразованного сигнала нужным образом (удаление всех четных или нечетных отсчетов).

Для вычисления вейвлет-преобразования двумерного сигнала (например, изображения), представленного прямоугольной матрицей отсчетов, нужно вначале выполнить преобразование над каждой строкой исходной матрицы, а затем над каждым столбцом полученного результата (или наоборот). В результате получаются 4 матрицы, каждая высотой и шириной вдвое меньше исходной, соответствующих «сглаженному» изображению и наборам деталей по горизонтали, по вертикали и по диагонали соответственно. Аналогичным образом может быть выполнено и преобразование сигналов больших размерностей.

В результате первого уровня разложения изображений получают:

Рис. 13. Результат первого уровня разложения изображений.
– аппроксимирующие коэффициенты (в результате применения низкочастотного фильтра),
– горизонтальные детализирующие коэффициенты,
– вертикальные детализирующие коэффициенты,
– диагональные детализирующие коэффициенты (в результате применения высокочастотного фильтра).

Если сигнал имел размерность , то коэффициенты первого уровня разложения , , , будут иметь размерность .

Поиск ведется по 20 максимальным детализирующим коэффициентам (горизонтальным, вертикальным и диагональным).

Обратное преобразование

Так как форма базисных функций зафиксирована, то вся информация о сигнале переносится на значения функции . Точность обратного интегрального вейвлет-преобразования зависит от выбора базисного вейвлета и способа построения базиса, т.е. от значений базисных параметров , . Строго теоретически вейвлет может считаться базисной функцией только в случае его ортонормированности. Для практических целей непрерывного преобразования часто бывает вполне достаточна устойчивость и «приблизительность» ортогональности системы разложения функций. Под устойчивостью понимается достаточно точная реконструкция произвольных сигналов. Для ортонормированных вейвлетов обратное вейвлет-преобразование записывается с помощью того же базиса, что и прямое:

где
- нормализующий коэффициент:

Условие конечности ограничивает класс функций, которые можно использовать в качестве вейвлетов. В частности, при , для обеспечения сходимости интеграла в нуле, значение должно быть равно нулю. Это обеспечивает условие компактности фурье-образа вейвлета в спектральной области с локализацией вокруг некоторой частоты – средней частоте вейвлетной функции. Следовательно, функция должна иметь нулевое среднее значение по области его определения (интеграл функции по аргументу должен быть нулевым):

Однако это означает, что не для всех сигналов возможна их точная реконструкция вейвлетом , т.к. при нулевом первом моменте вейвлета коэффициент передачи постоянной составляющей сигнала в преобразовании равен нулю.

Кроме того, даже при выполнении условия далеко не все типы вейвлетов могут гарантировать реконструкцию сигналов, как таковую. Однако и такие вейвлеты могут быть полезны для анализа особенностей сигналов, как дополнительного метода к другим методам анализа и обработки данных. В общем случае, при отсутствии строгой ортогональности вейвлетной функции, для обратного преобразования применяется выражение:

где индексом обозначен ортогональный «двойник» базиса , о котором будет изложено ниже.

Таким образом, непрерывное вейвлет - преобразование представляет собой разложение сигнала по всем возможным сдвигам и сжатиям/растяжениям некоторой локализованной финитной функции - вейвлета. При этом переменная определяет масштаб вейвлета и эквивалентна частоте в преобразованиях Фурье, а переменная – сдвиг вейвлета по сигналу от начальной точки в области его определения, шкала которого полностью повторяет временную шкалу анализируемого сигнала. Отсюда следует, что вейвлетный анализ является частотно-пространственным анализом сигналов.

Достоинства и недостатки вейвлетных преобразований

Рис. 14. Анализируемый сигнал
  • вейвлетные преобразования обладают практически всеми достоинствами преобразований Фурье.
  • вейвлетные базисы могут быть хорошо локализованными как по частоте, так и по времени. При выделении в сигналах хорошо локализованных разномасштабных процессов можно рассматривать только те масштабные уровни разложения, которые представляют интерес.
  • вейвлетные базисы, в отличие от преобразования Фурье, имеют достаточно много разнообразных базовых функций, свойства которых ориентированы на решение различных задач. Базисные вейвлеты могут иметь и конечные, и бесконечные носители, реализуемые функциями различной гладкости.
  • недостатком вейвлетных преобразований является их относительная сложность.

Практическое использование вейвлет - преобразований связано, в основном, с дискретными вейвлетами как в силу повсеместного использования цифровых методов обработки данных, так и в силу ряда различий дискретного и непрерывного вейвлет - преобразований. Одним из примеров является поиск изображения по образцу.

Непрерывные вейвлеты дают несколько более наглядное представление результатов анализа в виде поверхностей вейвлет - коэффициентов по непрерывным переменным. На рис. 14 анализируемый сигнал состоит из двух модулированных гауссианов. Преобразование вейвлетом Морлета четко показывает их пространственную и частотную локализацию, в то время как спектр Фурье дает только частотную локализацию.

Однако базисы на основе непрерывных вейвлетов, как правило, не являются строго ортонормированными, поскольку элементы базиса бесконечно дифференцируемы и экспоненциально спадают на бесконечности. У дискретных вейвлетов эти проблемы легко снимаются, что обеспечивает более точную реконструкцию сигналов.

Выбор конкретного вида и типа вейвлетов во многом зависит от анализируемых сигналов и задач анализа, при этом немалую роль играет интуиция и опыт исследователя.

Обоснование выбора вейвлет-преобразования в качестве ядра ПО спектрального анализа

Результат преобразования Фурье – амплитудно-частотный спектр, по которому можно определить присутствие некоторой частоты в исследуемом сигнале.

В случае, когда не встает вопрос о локализации временного положения частот, метод Фурье дает хорошие результаты. Но при необходимости определить временной интервал присутствия частоты приходится применять другие методы.

Одним из таких методов является обобщенный метод Фурье (локальное преобразование Фурье). Этот метод состоит из следующих этапов:

  1. В исследуемой функции создается «окно» – временной интервал, для которого функция , и для остальных значений;
  2. Для этого «окна» вычисляется преобразование Фурье
  3. «Окно» сдвигается, и для него также вычисляется преобразование Фурье. «Пройдя» таким «окном» вдоль всего сигнала, получается некоторая трехмерная функция, зависящая от положения «окна» и частоты.

Данный подход позволяет определить факт присутствия в сигнале любой частоты, и интервал ее присутствия. Это значительно расширяет возможности метода по сравнению с классическим преобразованием Фурье, но существуют и определенные недостатки. Согласно следствиям принципа неопределенности Гейзенберга в данном случае нельзя утверждать факт наличия частоты в сигнале в момент времени - можно лишь определить, что спектр частот (, ) присутствует в интервале (,). Причем, разрешение по частоте (по времени) остается постоянным вне зависимости от области частот (времен), в которых производится исследование. Поэтому, если, например, в сигнале существенна только высокочастотная составляющая, то увеличить разрешение можно только изменив параметры метода. В качестве метода, не обладающего подобного рода недостатками, был предложен аппарат вейвлет анализа.

Вейвлетные базисы могут быть хорошо локализованными как по частоте, так и по времени.

Вейвлетные базисы, в отличие от преобразования Фурье, имеют достаточно много разнообразных базовых функций, свойства которых ориентированы на решение различных задач.

Вейвлет - преобразование исключает методические ошибки преобразования Фурье и дает более точный результат.

Литература

  1. Астафьева Н.М. Вейвлет-анализ: Основы теории и примеры применения. – Успехи физических наук, 1996, т.166, № 11, стр. 1145-1170.
  2. Дьяконов В., Абраменкова И. MATLAB. Обработка сигналов и изображений. Специальный справочник. – СПб.: Питер, 2002, 608 с.
  3. Илюшин. Теория и применение вейвлет-анализа. – http://atm563.phus.msu.su/Ilyushin/index.htm.

Примечания