Вейвлет-преобразование

Материал из Национальной библиотеки им. Н. Э. Баумана
Последнее изменение этой страницы: 01:32, 6 июня 2016.
Open book.svg Авторство
Чичварин Н. В.
Согласовано: 27.05.2016
Статья по учебной дисциплине
Название дисциплины:

Обнаружение и распознавание сигналов

Раздел:

2. Анализ регулярных сигналов

Глава:

2.10 Применение быстрых спектральных алгоритмов в модельном представлении преобразования дискретных сигналов

Преподаватель:

Чичварин Н. В.

Вейвлет-преобразование — интегральное преобразование, которое представляет собой свертку вейвлет-функции с сигналом. Вейвлет-преобразование переводит сигнал из временного представления в частотно-временное. Является обобщением спектрального анализа, типичный представитель которого – классическое преобразование Фурье.

Содержание

Базисные функции вейвлет-преобразования

Базисными функциями вейвлет-преобразований могут быть самые различные функции с компактным носителем: модулированные импульсами синусоиды, функции со скачками уровня и т. п. Они обеспечивает хорошее отображение и анализ сигналов с локальными особенностями, в том числе со скачками, разрывами и перепадами значений с большой крутизной, при подборе соответствующего типа вейвлетов.

В общем случае к вейвлетам относятся локализованные функции, которые конструируются из одного материнского вейвлета или по любой другой независимой переменной путем операций сдвига по времени и изменения временного масштаба :

где множитель, обеспечивающий независимость нормы функций от масштабирующего числа .

Принципы вейвлет-преобразования

В отличие от гармонических базисных функций преобразования Фурье, предельно локализованых в частотной области (до импульсных функций Дирака при ) и не локализованых во временной (определены во всем временном интервале от до ), вейвлеты должны быть локализованными как во временной, так и в частотной области представления. При проектировании таких функций неминуемо приходится сталкиваться с принципом неопределенности, связывающим эффективные значения длительности функций и ширины их спектра. Чем точнее осуществляется локализация временного положения функции, тем шире становится ее спектр, и наоборот, что наглядно видно на рис. 1.

Рис. 1. Функции и спектр вейвлетов.

Отличительной особенностью вейвлет-анализа является то, что в нем можно использовать семейства функций, реализующих различные варианты соотношения неопределенности. Соответственно, исследователь имеет возможность гибкого выбора между ними и применения тех вейвлетных функций, которые наиболее эффективно решают поставленные задачи.

Вейвлетный базис пространства целесообразно конструировать из финитных функций, принадлежащих этому же пространству, которые должны стремиться к нулю на бесконечности. Чем быстрее эти функции стремятся к нулю, тем удобнее использовать их в качестве базиса преобразования при анализе реальных сигналов. Допустим, что такой функцией является -функция (), равная нулю за пределами некоторого конечного интервала и имеющая нулевое среднее значение по интервалу задания. Последнее необходимо для задания определенной локализации спектра вейвлета в частотной области. На основе этой функции сконструируем базис в пространстве с помощью масштабных преобразований независимой переменной.

Функция изменения частотной независимой переменной в спектральном представлении сигналов отображается во временном представлении растяжением/сжатием сигнала. Для вейвлетного базиса это можно выполнить функцией типа , т.е. путем линейной операции растяжения/сжатия, обеспечивающей самоподобие функции на разных масштабах представления. Однако конечность (локальность) функции на временной оси требует дополнительной независимой переменной последовательных переносов (сдвигов) функции вдоль оси (параметра локализации) типа для перекрытия всей числовой оси пространства . C учетом обеих условий одновременно структура базисной функции может быть принята следующей:

Для упрощения дальнейших выкладок значения переменных и примем целочисленными. При приведении функции к единичной норме, получаем:

Оcновы вейвлет-преобразования

В основе вейвлет-преобразований, в общем случае, лежит использование двух непрерывных, взаимозависимых и интегрируемых по независимой переменной функций:

  • Вейвлет-функции , как psi-функции времени с нулевым значением интеграла и частотным фурье-образом . Этой функцией, которую обычно и называют вейвлетом, выделяются детали сигнала и его локальные особенности. В качестве анализирующих вейвлетов обычно выбираются функции, хорошо локализованные и во временной, и в частотной области.
  • Масштабирующей функции , как временной скейлинг-функции с единичным значением интеграла, с помощью которой выполняется грубое приближение (аппроксимация) сигнала.
Рис. 2. Вейвлетные функции в двух масштабах.

-функции присущи не всем, а, как правило, только ортогональным вейвлетам. Они необходимы для преобразования нецентрированных и достаточно протяженных сигналов при раздельном анализе низкочастотных и высокочастотных составляющих.

Вейвлетный спектр

Вейвлетный спектр является двумерным и определяет двумерную поверхность в пространстве переменных и . При графическом представлении параметр растяжения/сжатия спектра откладывается по оси абсцисс, параметр локализации по оси ординат – оси независимой переменной сигнала. Для выбранного начального значения масштабного коэффициента сжатия определяется функция вейвлета и вычисляется скалярное произведение сигнала с вейвлетом с аргументом по сдвигу . Максимальные значения скалярного произведения отмечаются в сигнале там, где локализована эта же вейвлетная функция.

Чем точнее локальная особенность сигнала совпадает с соответствующей функцией вейвлета, тем эффективнее выделение этой особенности на соответствующей масштабной строке вейвлетного спектра. Нетрудно видеть также, что для сильно сжатого вейвлета Хаара характерной хорошо выделяемой локальной особенностью является скачок сигнала, причем выделяется не только скачок функции, но и направление скачка.

Отображение преобразования

Результатом вейвлет-преобразования одномерного числового ряда (сигнала) является двумерный массив значений коэффициентов . Распределение этих значений в пространстве — временной масштаб, временная локализация, дает информацию об изменении во времени относительного вклада в сигнале вейвлетных компонент разного масштаба и называется спектром коэффициентов вейвлет-преобразования, масштабно-временным (частотно-временным) спектром или просто вейвлет-спектром (wavelet spectrum).

Спектр одномерного сигнала представляет собой поверхность в трехмерном пространстве. Способы визуализации спектра могут быть самыми различными. Наиболее распространенный способ – проекция на плоскость с изолиниями (изоуровнями), что позволяет проследить изменения коэффициентов на разных масштабах во времени, а также выявить картину локальных экстремумов этих поверхностей ("холмов" и "впадин"), так называемый "скелет" (skeleton) структуры анализируемого процесса. При широком диапазоне масштабов применяются логарифмические координаты (log a, b). Пример вейвлетного спектра простейшего сигнала при его разложении вейвлетом Mhat приведен на рис. 2.

Рис. 3. Сигнал, вейвлетный Mhat - спектр и масштабные сечения спектра.

По вертикальным сечениям (сечениям сдвига ) вейвлет-спектр отражает компонентный состав сигнала (из данного комплекта вейвлетов) в каждый текущий момент. По смыслу преобразования как скалярного произведения сигнала с вейвлетом, ясно, что значения коэффициентов в каждой текущей временной точке по масштабным сечениям тем больше, чем сильнее корреляция между вейвлетом данного масштаба и поведением сигнала в окрестностях этой точки. Соответственно, масштабные сечения по параметру демонстрируют изменения в сигнале компоненты данного масштаба со временем.

Заметим, что вейвлетные составляющие сигнала в сечениях его спектра не имеют ничего общего с синусоидами, и представлены, как правило, сигналами достаточно сложной и не всегда понятной формы, что может затруднять их наглядное представление и понимание.

Идея вейвлет-преобразования

Рис. 4. Примеры материнских вейвлетов

Идея вейвлет-преобразования состоит в разложении сигнала (функции-изображения) по системе функций, имеющих локальный всплеск и быстро убывающих на бесконечности. Обычно такие функции вейвлет-преобразования выводятся из так называемого материнского вейвлета. Материнский вейвлет – это функция  :

т. е. также предполагается, что

Материнский вейвлет преобразуется следующим образом:

где


В общем случае вейвлет-преобразование записывается так:

При практическом применении вейвлет-преобразования анализ такого мощного (а именно континуум) множества коэффициентов невозможен. Поэтому выбираются из счетного подмножества плоскости Обычно материнский вейвлет и множество значений выбирают так, чтобы система образовывала ортонормированный базис в пространстве Тогда любую функцию из этого пространства можно разложить по этому базису

Вейвлет-преобразования имеют очень хорошую частотно-пространственную локализацию и по этому показателю превосходят традиционные косинус-преобразования и другие преобразования Фурье. Таким образом, становится возможным применять более сильное квантование, улучшая свойства последовательности для последующего сжатия без потерь. Алгоритмы сжатия изображений, основанные на этом преобразовании, при той же степени сжатия показывают лучшие результаты по сохранению качества изображения. К тому же вычислительная сложность очень низка и составляет (здесь длина последовательности, к которой применяется преобразование). Однако распространенность форматов, использующих сжатие на основе вейвлет-преобразования, невелика из-за наличия патентов, а также из-за большой распространенности обычного JPEG, дающего вполне приемлемые результаты.

Масштаб вейвлет-преобразования

Понятие масштаба вейвлет-преобразования имеет аналогию с масштабом географических карт. Большие значения масштаба соответствуют глобальному представлению сигнала, а низкие значения масштаба позволяют различить детали. В терминах частоты низкие частоты соответствуют глобальной информации о сигнале (распределена на всей его протяженности), а высокие частоты – детальной информации и особенностям, которые имеют малую протяженность, т. е. масштаб вейвлета, как единица шкалы частотно-временного представления сигналов, обратен частоте. Масштабирование как математическая операция расширяет или сжимает сигнал. Большие значения масштабов соответствуют расширениям сигнала, а малые значения – сжатым версиям. В определении вейвлета коэффициент масштаба стоит в знаменателе. Соответственно, расширяет сигнал, сжимает его.

Процедура преобразования

Процедура преобразовани стартует с масштаба и продолжается при увеличивающихся значениях , т. e. анализ начинается с высоких частот и проводится в сторону низких частот. Первое значение соответствует наиболее сжатому вейвлету. При увеличении значения вейвлет расширяется. Вейвлет помещается в начало сигнала (), перемножается с сигналом, интегрируется на интервале своего задания и нормализуется на . При задании четных или нечетных функций вейвлетов результат вычисления помещается в точку () масштабно-временного спектра преобразования. Сдвиг может рассматриваться как время с момента , при этом координатная ось , по существу, повторяет временную ось сигнала. Для полного включения в обработку всех точек входного сигнала требуется задание начальных (и конечных) условий преобразования (определенных значений входного сигнала при и на полуширину окна вейвлета). При одностороннем задании вейвлетов результат относится, как правило, к временному положению средней точки окна вейвлета.

Затем вейвлет масштаба сдвигается вправо на значение и процедура повторяется. Получаем значение, соответствующее в строке на частотно-временном плане. Процедура повторяется до тех пор, пока вейвлет не достигнет конца сигнала. Таким образом получаем строку точек на масштабно-временном плане для масштаба .

Для вычисления следующей масштабной строки значение увеличивается на некоторое значение. При НПВ в аналитической форме и . При выполнении преобразования в компьютере вычисляется аппроксимация с увеличением обоих параметров с определенным шагом. Тем самым мы осуществляем дискретизацию масштабно-временной плоскости.

Начальное значение масштабного коэффициента может быть и меньше 1. В принципе, для детализации самых высоких частот сигнала минимальных размер окна вейвлета не должен превышать периода самой высокочастотной гармоники. Если в сигнале присутствуют спектральные компоненты, соответствующие текущему значению , то интеграл произведения вейвлета с сигналом в интервале, где эта спектральная компонента присутствует, дает относительно большое значение. В противном случае произведение мало или равно нулю, т. к. среднее значение вейвлетной функции равно нулю. С увеличением масштаба (ширины окна) вейвлета преобразование выделяет все более низкие частоты.

В общем случае значения параметров и являются непрерывными, и множество базисных функций является избыточным. В силу этого непрерывное преобразование сигналов содержит очень большой объем информации. Сигналу, определенному на , соответствует вейвлетный спектр на . C позиций сохранения объема информации при преобразованиях сигналов отсюда следует, что вейвлетный спектр НПВ имеет огромную избыточность.

Свойства вейвлет-преобразования

Результаты вейвлет-преобразования, как скалярного произведения вейвлета и сигнальной функции, содержат комбинированную информацию об анализируемом сигнале и самом вейвлете. Получение определенной объективной информации об анализируемом сигнале базируется на свойствах вейвлет-преобразования, общих для вейвлетов всех типов. Рассмотрим основные из этих свойств. Для обозначения операции вейвлет-преобразования произвольных функций будем применять индекс .

Линейность

Для векторных функций из этого следует, что векторной функции есть вектор с компонентами каждой из компонент анализируемого вектора в отдельности.

Инвариантность относительно сдвига

Сдвиг сигнала во времени на приводит к сдвигу вейвлет-спектра также на :

Инвариантность относительно масштабирования

Растяжение (сжатие) сигнала приводит к растяжению (сжатию) вейвлет-спектра сигнала:

Дифференцирование

Отсюда следует, что безразлично, дифференцировать функцию или анализирующий вейвлет. Если анализирующий вейвлет задан формулой, то это может быть очень полезным для анализа сигналов. Проанализировать особенности высокого порядка или мелкомасштабные вариации сигнала с игнорированием крупномасштабных полиномиальных составляющих (тренда и регионального фона) можно дифференцированием нужного числа раз либо вейвлета, либо самого сигнала. Это свойство особенно полезно, когда сигнал задан дискретным рядом.

Аналог теоремы Парсеваля

Аналог теоремы Парсеваля для ортогональных и биортогональных вейвлетов.

Отсюда следует, что энергия сигнала может вычисляться через коэффициенты вейвлет-преобразования.

Непрерывное вейвлет-преобразование

Допустим, что мы имеем функции с конечной энергией (нормой) в пространстве , определенные по всей действительной оси . Для финитных сигналов с конечной энергией средние значения сигналов, как и любых других функций из пространства , должны стремиться к нулю на .

Непрерывным вейвлет-преобразованием (или вейвлетным образом, НВП) функции называют функцию двух переменных:

где вейвлеты – масштабированные и сдвинутые копии порождающего вейвлета, совокупность которых создает новый базис пространства .

Порождающими функциями могут быть самые различные функции с компактным носителем – ограниченные по времени и местоположению на временной оси, и имеющие спектральный образ, в определенной степени локализованный на частотной оси. Как и для рядов Фурье, базис пространства целесообразно конструировать из одной порождающей функции, норма которой должна быть равна 1. Для перекрытия локальной функцией вейвлета всей временной оси пространства используется операция сдвига (смещения по временной оси):, где значение для НВП также является величиной непрерывной. Для перекрытия всего частотного диапазона пространства используется операция временного масштабирования вейвлета с непрерывным изменением независимой переменной: . Если временной образ вейвлета будет расширяться (изменением значения параметра ), то его "средняя частота" будет понижаться, а частотный образ (частотная локализация) перемещаться на более низкие частоты. Таким образом, путем сдвига по независимой переменной вейвлет имеет возможность перемещаться по всей числовой оси произвольного сигнала, а путем изменения масштабной переменной (в фиксированной точке временной оси) "просматривать" частотный спектр сигнала по определенному интервалу окрестностей этой точки.

С использованием этих операций вейвлетный базис функционального пространства образуется путем масштабных преобразований и сдвигов порождающего вейвлета :

Нетрудно убедиться, что нормы вейвлетов равны норме , что обеспечивает нормировочный множитель . При нормировке к 1 порождающего вейвлета все семейство вейвлетов также будет нормированным. Если при этом выполняется требование ортогональности функций, то функции будут представлять собой ортонормированный базис пространства .

Дискретное вейвлет-преобразование

Для простоты рассмотрим одномерный случай – последовательность конечной длины Тогда при условии, что материнский вейвлет преобразование можно записать так:

В алгоритме JPEG2000 используются вейвлеты Добеши. В матричном виде для действия на вектор A длины 8 данное преобразование задается так:

где

Как видно, матрица имеет размеры 8×10 из-за необходимости участия в суммировании четырех компонент. Т.е. на самом деле, такая матрица умножается на следующий вектор:

Обычно полагают либо , либо . Использование вейвлет-преобразований при сжатии изображений аналогично использованию дискретного косинус-преобразования в алгоритме JPEG, т.е. само преобразование – лишь ступень конвейера сжатия.

При обработке данных на ПК может выполняться дискретизированная версия непрерывного вейвлет-преобразования с заданием дискретных значений параметров вейвлетов с произвольным шагом и , но она требует большого числа вычислений. Кроме того, в результате получается избыточное количество коэффициентов, намного превосходящее число отсчетов исходного сигнала, которое не требуется для реконструкции сигналов.

Дискретное вейвлет-преобразование (ДВП) обеспечивает достаточно информации, как для анализа сигнала, так и для его синтеза, являясь вместе с тем экономным по числу операций и по требуемой памяти. ДВП оперирует с дискретными значениями параметров и , которые задаются, как правило, в виде степенных функций:

где – пространство целых чисел,
– параметр масштаба,
– параметр сдвига.

Базис пространства в дискретном представлении:

Вейвлет-коэффициенты прямого преобразования:

В общем случае, значение может быть произвольным, но обычно принимается равным 2, при этом преобразование называется диадным вейвлет-преобразованием. Для диадного преобразования разработан быстрый алгоритм вычислений, аналогичный быстрому преобразованию Фурье, что предопределило его широкое использование при анализе дискретных функций и массивов цифровых данных. Обратное дискретное преобразование для непрерывных сигналов при нормированном ортогональном вейвлетном базисе пространства:

Число практически использованных вейвлетов по масштабному коэффициенту задает уровень декомпозиции сигнала, при этом за нулевой уровень обычно принимается уровень максимального временного разрешения сигнала, т. е. сам сигнал, а последующие уровни образуют ниспадающее вейвлет-дерево. В программном обеспечении вычислений для исключения использования отрицательной нумерации по знак минус обычно переносится непосредственно в , т. е. используется следующее представление базисных функций:


Устойчивость дискретного базиса определяется следующим образом. Функция называется R-функцией, если базис на ее основе по является базисом Рисса (Riesz). Для базиса Рисса существуют значения и , , для которых выполняется соотношение

если энергия ряда конечна. При этом для любой R-функции существует базис , который ортогонален базису . Его называют ортогональным "двойником" базиса , таким, что


Если и , то семейство базисных функций является ортонормированным базисом, и возможно полное восстановление исходного сигнала, при этом Если не ортогональный вейвлет, но имеет "двойника", то на базе "двойника" вычисляется семейство , которое и используется при обратном преобразовании вместо , при этом точное восстановление исходного сигнала не гарантировано, но оно будет близко к нему в среднеквадратическом смысле.


Как и для непрерывного вейвлет-преобразования, обратное дискретное преобразование не может выполнить восстановление нецентрированных сигналов в силу нулевого первого момента вейвлетных функций и, соответственно, центрирования значения вейвлет-коэффициентов при прямом вейвлет-преобразовании. Поэтому при обработке числовых массивов данных дискретные вейвлеты используются, как правило, в паре со связанными с ними дискретными масштабирующими функциями. Масштабирующие функции имеют с вейвлетами общую область задания и определенное соотношение между значениями (формой), но первый момент масштабирующих функций по области определения равен 1. Если вейвлеты рассматривать как аналоги полосовых фильтров сигнала, в основном, высокочастотных при выделении локальных особенностей в сигнале, то масштабирующие функции вейвлетов представляет собой аналоги низкочастотных фильтров, которыми из сигнала выделяются в отдельный массив составляющие, не прошедшие вейвлетную фильтрацию. Так, например, порождающая скейлинг-функция вейвлета Хаара задается следующим выражением:

При обозначении масштабирующих функций индексом аналитика скейлинг-функций повторяет выражения и образует дополнительный базис пространства . Сумма вейвлет-коэффициентов и масштабирующих коэффициентов разложения сигналов соответственно дает возможность выполнять точную реконструкцию сигналов, при этом используется следующее выражение обратного вейвлет-преобразования:

где – масштабирующие коэффициенты, которые обычно называют коэффициентами аппроксимации сигнала;
– вейвлет-коэффициенты или коэффициенты детализации.

Один уровень дискретного вейвлет-преобразования

ДВП сигнала получают применением набора фильтров. Сначала сигнал пропускается через низкочастотный (low-pass) фильтр с импульсным откликом , и получается свёртка:

Одновременно сигнал раскладывается с помощью высокочастотного (high-pass) фильтра . В результате получаются детализирующие коэффициенты (после ВЧ-фильтра) и коэффициенты аппроксимации (после НЧ-фильтра). Эти два фильтра связаны между собой и называются квадратурными зеркальными фильтрами (QMF).

Рис. 5. Схема разложения сигнала в ДВП.

Так как половина частотного диапазона сигнала была отфильтрована, то, согласно теореме Котельникова, если аналоговый сигнал имеет спектр, ограниченный частотой , то он может быть однозначно и без потерь восстановлен по своим дискретным (discr) отсчётам, взятым с частотой где верхняя частота в спектре, или, по-другому, по отсчётам, взятым с периодом. Отсчёты сигналов можно проредить в 2 раза:

Такое разложение вдвое уменьшило разрешение по времени в силу прореживания сигнала. Однако каждый из получившихся сигналов представляет половину частотной полосы исходного сигнала, так что частотное разрешение удвоилось. Это согласуется с принципом неопределённости Гейзенберга.

С помощью оператора прореживания () вышеупомянутые суммы можно записать короче:

Вычисление полной свёртки с последующим прореживанием — это излишняя трата вычислительных ресурсов. Схема лифтинга является оптимизацией, основанной на чередовании этих двух вычислений.

Каскадирование и банки фильтров

Это разложение можно повторить несколько раз для дальнейшего увеличения частотного разрешения, с дальнейшим прореживанием коэффициентов после НЧ- и ВЧ-фильтрации. Это можно представить в виде двоичного дерева, где листья и узлы соответствуют пространствам с различной частотно-временной локализацией. Это дерево представляет структуру банка (гребенки) фильтров.

Рис. 6. Трехуровневый банк (гребенка) фильтров.

На каждом уровне вышеприведённой диаграммы сигнал раскладывается на низкие и высокие частоты. В силу двукратного прореживания, длина сигнала должна быть кратна , где число уровней разложения.

Например, для сигнала из 32 отсчётов с частотным диапазоном от до трёхуровневое разложение даст 4 выходных сигнала в разных масштабах:

Уровень Частоты Длина сигнала
3 4
4
2 8
1 16


Рис. 7. Представление ДВП в частотной области.

Частотно-временная локализация вейвлет-анализа

Реальные сигналы, как правило, конечны и принадлежат пространству . Частотный спектр сигналов обратно пропорционален их длительности. Соответственно, достаточно точный низкочастотный анализ сигналов должен производиться на больших интервалах его задания, а высокочастотный – на малых. Если частотный состав сигнала претерпевает существенные изменения на интервале его задания, то преобразование Фурье дает только усредненные данные частотного состава сигнала с постоянным частотным разрешением. Определенная частотно-временная локализация анализа создается применением оконного преобразования Фурье, что дает семейства частотных спектров, локализованных во времени, но в пределах постоянной ширины окна оконной функции, а, следовательно, также с постоянным значением и частотного, и временного разрешения.

В отличие от оконного преобразования Фурье, вейвлет-преобразование при аналогичных дискретных значениях сдвигов дает семейства спектров масштабных коэффициентов сжатия-растяжения

Если считать, что каждый вейвлет имеет определенную "ширину" своего временного окна, которому соответствует определенная "средняя" частота спектрального образа вейвлета, обратная его масштабному коэффициенту , то семейства масштабных коэффициентов вейвлет-преобразования можно считать аналогичными семействам частотных спектров оконного преобразования Фурье, но с одним принципиальным отличием. Масштабные коэффициенты изменяют "ширину" вейвлетов и, соответственно, "среднюю" частоту их фурье-образов, a, следовательно, каждой частоте соответствует своя длительность временного окна анализа, и наоборот. Так малые значения параметра , характеризующие быстрые составляющие в сигналах, соответствуют высоким частотам, а большие значения (соответствующие медленным изменениям сигнала) – низким частотам. Таким образом, за счёт изменения масштаба вейвлеты способны выявлять различия на разных частотах, а за счёт сдвига (параметр ) проанализировать свойства сигнала в разных точках на всём исследуемом временном интервале. В какой-то мере можно говорить о том, что многоразмерное временное окно вейвлет-преобразования адаптировано для оптимального выявления и низкочастотных, и высокочастотных характеристики сигналов.

Рис. 8. Схематическое изображение частотно-временных окон преобразования

Для произвольной оконной функции ее центр и радиус определяются формулами:

Рис. 9. Частотно-временные окна вейвлета

Если по этим функциям определить центры и радиусы вейвлетов и их Фурье-образов, то временная локализация происходит с центрами окон шириной , а частотная – с центрами , и с шириной окна . При этом значение отношения центральной частоты к ширине окна не зависит от местоположения центральной частоты. Частотно-временное окно сужается при высокой центральной частоте и расширяется при низкой. Схематическое изображение частотно-временных окон преобразования приведено на рис. 8. Таким образом, на высоких частотах лучше разрешение по времени, а на низких - по частоте. Для высокочастотной компоненты сигнала мы можем точнее указать ее временную позицию, а для низкочастотной – ее значение частоты.

Изменение частотно-временного окна вейвлета определяет угол влияния значений функции в произвольных точках на значения коэффициентов . И наоборот, угол влияния из точки на ось определяет интервал значений функции, которые принимают участие в вычислении данного коэффициента – область достоверности. Схематически это показано на рис. 9.

По углу влияния наглядно видно, что высокочастотная (мелкомасштабная) информация вычисляется на основе малых интервалов сигналов, а низкочастотная – на основе больших. Поскольку анализируемые сигналы всегда конечны, то при вычислении коэффициентов на границах задания сигнала область достоверности выходит за пределы сигнала, и для уменьшения погрешности вычислений сигнал дополняется заданием начальных и конечных условий (средним значением, предполагаемым временных ходом и т. п.).

Образное представление преобразования

Представим себе длинный и узкий стеклянный ларь, произвольно заполненный шарами трех разных диаметров: 5, 10 и 15 см. Взглянем на ларь сбоку, и линию высоты насыпки будем считать значением сигнала в зависимости от расстояния от одного из торцов ларя (условно – нулевого).

Возьмем первый "вейвлет" – идеальное дифференциальное сито с диаметром отверстий см, через которое проходят только пятисантиметровые шары (аналог значения ). Передвигаясь вдоль ларя, "просеем" через это сито шары в ларе, не перемешивая их по расстоянию от нулевого торца ларя и размещая отсеиваемые шары в таком же ларе, сохраняя расстояние от начала ларя. Сменим масштаб "вейвлета" и повторим эту операцию ситом с диаметром отверстий 10, а затем 15 см. Если все три ларя расположить радом, мы получим двумерную "поверхность" насыпки отсеянных шаров, которая наглядно покажет распределение шаров в ларе и по размерам, и по их концентрации в различных участках ларя.

Данная модель разложения является довольно грубой, но интуитивно понятно, что обратная сборка шаров в ларь с сохранением их местоположения с определенной точностью восстановит высоту насыпки. Замените шары короткими фрагментами электронных сигналов произвольной, но одной и той формы в пределах диаметра шаров, сложите все значения сигналов по текущим значениям , и вы получите сложный суммарный сигнал. Используя прямое вейвлет-преобразование с вейвлетами этих же составляющих, вы можете разложить суммарный сигнал (и любой другой произвольный сигнал) на составляющие в масштабно-временной плоскости. Замените масштабную ось ширины вейвлетов на обратную ей частотную ось, и вы представите результаты в частотно-временной плоскости. Заметим только, что точность, представительность и информативность результатов анализа во многом будут зависеть как от формы и особенностей анализируемого сигнала, так и от формы выбранных вами вейвлетов и параметров масштабирования и сдвига. Это определяется тем, что дифференциальное сито в примере с шарами – идеальная операция разделения, в то время как при вейвлет-преобразовании "идентификация" составляющих выполняется по скалярному произведению сигнала и функции вейвлета. Скалярное произведение в принципе не может давать однозначного ответа типа "да-нет", а только "наносит" на масштабно-временную плоскость определенные значения величины скалярного произведения. С одной стороны, выбор типа вейвлета вносит определенную субъективность исследователя в методику исследования сигналов, но, с другой стороны, дает исследователю новые возможности и свободу в поиске наиболее эффективных и оптимальных методов обработки сигналов и извлечения из них необходимой информации.

Достоинства и недостатки вейвлетных преобразований

Рис. 10. Преобразование вейвлета Морлета, спектр Фурье
  • Вейвлетные преобразования обладают практически всеми достоинствами преобразований Фурье.
  • Вейвлетные базисы могут быть хорошо локализованными как по частоте, так и по времени. При выделении в сигналах хорошо локализованных разномасштабных процессов можно рассматривать только те масштабные уровни разложения, которые представляют интерес.
  • Вейвлетные базисы, в отличие от преобразования Фурье, имеют достаточно много разнообразных базовых функций, свойства которых ориентированы на решение различных задач. Базисные вейвлеты могут иметь и конечные, и бесконечные носители, реализуемые функциями различной гладкости.
  • Недостатком вейвлетных преобразований является их относительная сложность.

Непрерывные вейвлеты дают несколько более наглядное представление результатов анализа в виде поверхностей вейвлет-коэффициентов по непрерывным переменным. На рис. 10 анализируемый сигнал состоит из двух модулированных гауссианов. Преобразование вейвлетом Морлета четко показывает их пространственную и частотную локализацию, в то время как спектр Фурье дает только частотную локализацию.

Однако базисы на основе непрерывных вейвлетов, как правило, не являются строго ортонормированными, поскольку элементы базиса бесконечно дифференцируемы и экспоненциально спадают на бесконечности. У дискретных вейвлетов эти проблемы легко снимаются, что обеспечивает более точную реконструкцию сигналов.

Выбор конкретного вида и типа вейвлетов во многом зависит от анализируемых сигналов и задач анализа, при этом немалую роль играет интуиция и опыт исследователя.

Сопоставление возможностей преобразования Фурье и вейвлет-преобразования при спектральном анализе

Результат преобразования Фурье – амплитудно-частотный спектр, по которому можно определить присутствие некоторой частоты в исследуемом сигнале.

В случае, когда не встает вопрос о локализации временного положения частот, метод Фурье дает хорошие результаты. Но при необходимости определить временной интервал присутствия частоты приходится применять другие методы.

Одним из таких методов является обобщенный метод Фурье (локальное преобразование Фурье). Этот метод состоит из следующих этапов:

  1. В исследуемой функции создается “окно” – временной интервал, вне которого функция для остальных значений;
  2. Для этого “окна” вычисляется преобразование Фурье;
  3. "Окно" сдвигается, и для него также вычисляется преобразование Фурье. “Пройдя” таким “окном” вдоль всего сигнала, получается некоторая трехмерная функция, зависящая от положения “окна” и частоты.

Данный подход позволяет определить факт присутствия в сигнале любой частоты и интервал ее присутствия. Это значительно расширяет возможности метода по сравнению с классическим преобразованием Фурье, но существуют и определенные недостатки. Согласно следствиям принципа неопределенности Гейзенберга в данном случае нельзя утверждать факт наличия частоты в сигнале в момент времени , можно лишь определить, что спектр частот присутствует в интервале , причем разрешение по частоте (по времени) остается постоянным вне зависимости от области частот (времен), в которых производится исследование. Поэтому, если, например, в сигнале существенна только высокочастотная составляющая, то увеличить разрешение можно только изменив параметры метода. В качестве метода, не обладающего подобного рода недостатками, был предложен аппарат вейвлет анализа.

Вейвлетные базисы могут быть хорошо локализованными как по частоте, так и по времени.

Вейвлетные базисы, в отличие от преобразования Фурье, имеют достаточно много разнообразных базовых функций, свойства которых ориентированы на решение различных задач.

Вейвлет - преобразование исключает методические ошибки преобразования Фурье и дает более точный результат.

Вейвлетные функции

Выбор анализирующего вейвлета во многом определяется тем, какую информацию необходимо извлечь из сигнала. С учетом характерных особенностей различных вейвлетов во временном и в частотном пространстве, можно выявлять в анализируемых сигналах те или иные свойства и особенности, которые незаметны на графиках сигналов, особенно в присутствии сильных шумов. При этом задача реконструкции сигнала может и не ставится, что расширяет семейство используемых регулярных и симметричных вейвлетных функций. Более того, вейвлет может конструироваться непосредственно под ту локальную особенность в сигнале, которая подлежит выделению или обнаружению, если ее форма априорно известна.

При анализе сигналов вейвлетами четного типа (симметричными или близкими к симметричным) гармоническим сигналам обычно соответствуют яркие горизонтальные полосы вейвлетных пиков и впадин на доминирующих частотах вейвлетов, совпадающих с частотой гармоник сигналов. Нарушения гладкости сигналов фиксируются вертикальными полосами, пики в сигналах выделяются максимумами, а впадины – минимумами вейвлетных коэффициентов. Напротив, вейвлеты нечетного типа более резко реагируют на скачки и быстрые изменения в сигналах, отмечая их максимумами или минимумами в зависимости от знака дифференциалов. Чем резче выражены особенности сигналов, тем сильнее они выделяются на спектрограммах.

Для конструирования таких вейвлетов часто используются производные функции Гаусса, которая имеет наилучшую локализацию как во временной, так и в частотной областях. В общей форме уравнение базового вейвлета имеет вид

Уравнения базовых вейвлетов для первых четырех производных:

Уравнения нормированных базисов для временных сигналов:

Для сужения базовой формы вейвлетов применяется также упрощенная форма выражения  :

WАVE-вейвлет

WАVE-вейвлет вычисляется по первой производной () и приведен на рис. 11 во временной и частотной области для трех значений масштабных коэффициентов . Форма вейвлета относится к нечетным функциям и, соответственно, спектр вейвлета является мнимым. Уравнение вейвлета по с единичной нормой:

Рис. 11. Вейвлет Wave.

На рис. 12 приведен пример применения вейвлета для анализа двух однотипных сигналов, один из которых осложнен шумами с мощностью на уровне мощности самого сигнала. Как следует из рисунка, контурная масштабно-временная картина вейвлетных коэффициентов, а равно и ее сечения на больших значениях масштабных коэффициентов (малых доминирующих частотах вейвлетов), очень точно и уверенно фиксирует положение вершины информационного сигнала сменой знака коэффициентов .

Рис. 12. Анализ двух однотипных сигналов.

МНАТ-вейвлет

МНАТ-вейвлет (Mexican hat – мексиканская шляпа) вычисляется по второй производной () и приведен на рис. 13. Вейвлет симметричен, спектр вейвлета представлен только действительной частью и хорошо локализован по частоте, нулевой и первый моменты вейвлета равны нулю. Применяется для анализа сложных сигналов. Уравнение вейвлета по :

Рис. 13. Вейвлет MHAT.


На рис. 14 приведен пример использования вейвлета для анализа сложного сигнала . Модель сигнала образована суммой сигналов разной структуры. Сигналы представляют собой функции Гаусса разного масштабного уровня, сигнал – прямоугольный импульс, сигнал задан в виде тренда с постоянным значением дифференциала. На контурном графике вейвлет-коэффициентов можно видеть выделение всех трех основных структур сигнала при полном исключении тренда. Особенно четко выделяются границы скачков прямоугольной структуры. Справа на рисунке приведена полная трехмерная картина вейвлет-преобразования.

Рис. 14. Использование вейвлета для анализа сложного сигнала.


Вейвлет широко используется в двумерном варианте для анализа изотропных полей. На его основе возможно также построение двумерного неизотропного базиса с хорошей угловой избирательностью при добавлении к сдвигам и масштабированию вейвлета его вращения. При повышении номера производной функции временная область определения вейвлета несколько увеличивается при достаточно существенном повышении доминирующей частоты вейвлета и степени его локализации в частотной области. Вейвлеты -го порядка позволяют анализировать более тонкие высокочастотные структуры сигналов, подавляя низкочастотные компоненты. Пример вейвлета по восьмой производной приведен на рис. 15.

Рис. 15. Вейвлет по восьмой производной.

Практическое следствие повышения степени локализации вейвлетов в частотной области наглядно видно на рис. 16 на примере преобразования той же функции, что и на рис. 14. Сравнение рисунков показывает существенное повышение чувствительности вейвлета к высокочастотным составляющим сигнала на малых масштабных коэффициентах.

Рис. 16. Повышение степени локализации вейвлетов в частотной области.

Свойства вейвлет-преобразования

Результаты вейвлет-преобразования, как скалярного произведения вейвлета и сигнальной функции, содержат комбинированную информацию об анализируемом сигнале и самом вейвлете. Получение определенной объективной информации об анализируемом сигнале базируется на свойствах вейвлет-преобразования, общих для вейвлетов всех типов. Рассмотрим основные из этих свойств. Для обозначения операции вейвлет-преобразования произвольных функций будем применять индекс .

Линейность

Для векторных функций из этого следует, что векторной функции есть вектор с компонентами каждой из компонент анализируемого вектора в отдельности.

Инвариантность относительно сдвига

Сдвиг сигнала во времени на приводит к сдвигу вейвлет-спектра также на :

Инвариантность относительно масштабирования

Растяжение (сжатие) сигнала приводит к растяжению (сжатию) вейвлет-спектра сигнала:

Дифференцирование

Отсюда следует, что безразлично, дифференцировать ли функцию или анализирующий вейвлет. Если анализирующий вейвлет задан формулой, то это может быть очень полезным для анализа сигналов. Проанализировать особенности высокого порядка или мелкомасштабные вариации сигнала с игнорированием крупномасштабных полиномиальных составляющих (тренда и регионального фона) можно дифференцированием нужного числа раз либо вейвлета, либо самого сигнала. Это свойство особенно полезно, когда сигнал задан дискретным рядом.

Аналог теоремы Парсеваля

Аналог теоремы Парсеваля для ортогональных и биортогональных вейвлетов.

Отсюда следует, что энергия сигнала может вычисляться через коэффициенты вейвлет-преобразования. Определения и свойства одномерного непрерывного вейвлет-преобразования обобщаются на многомерный и на дискретный случаи.

Вейвлет-преобразование простых сигналов

Вейвлет-преобразование, выполняемое при анализе сигналов для выявления в них каких-либо особенностей и места их локализации без обратной реконструкции, допускает применение любых типов вейвлетов, как ортогональных, так и неортогональных. Чаще всего для этих целей используются симметричные вейвлеты типа Mhat. Ниже приводятся результаты применения вейвлета Mhat для анализа сигналов простых форм. Вычисления выполнены по формуле:

где суммирование выполняется в растворе угла влияния (по области достоверности) с шагом . Так как при непрерывном разложении скейлинг-функция не используется, отсчет значений начинается с 1, а ряд коэффициентов оставляется нулевым и определяет нулевой фон контурных графиков спектра.

Импульсы Кронекера (положительный и отрицательный), вейвлет-спектр импульсов и сечения спектра на трех значениях параметра приведены на рис. 17. Цветовая гамма спектра здесь и в дальнейшем соответствует естественному цветоряду от красного (большие значения) к фиолетовому (малые значения коэффициентов).

Рис. 17. Преобразование импульсов Кронекера.

На сечениях спектра видно, что свертка единичных импульсов с разномасштабными вейвлетами повторяет форму вейвлетов, как это и положено при операции свертки. Соответственно, линии максимальных экстремумов на сечениях ("хребты" и "долины", в зависимости от полярности) определяют временное положение импульсов, а боковые экстремумы противоположной полярности образуют характерные лепестки в конусе угла влияния, который хорошо выражен.

Рис. 18. Преобразование функций Лапласа.

Аналогичный характер спектра сохраняется и для любых локальных неоднородностей на сигналах в форме пиков (рис. 18) со смещением максимумов (минимумов) коэффициентов со значений в область больших значений (в зависимости от эффективной ширины пиков).

Рис. 19. Преобразование функций Гаусса.

На рис. 19 приведен спектр функций Гаусса. При сглаживании вершин пиковых неоднородностей форма цветовых конусов также сглаживается, но "хребтовые" ("долинные") линии достаточно точно фиксируют на временной оси положение центров локальных неоднородностей.

Рис. 20. Преобразование перепада постоянного значения функций.

На рис. 20 приведены спектры двух разных по крутизне перепадов постоянных значений функции. Центры перепадов фиксируются по переходу через нуль значений коэффициентов , а крутизна перепадов отражается, в основном, на значениях функции при малых значениях параметра . При изломах функций спектрограммы уверенно фиксируют место изломов максимумами (минимумами) значений коэффициентов , как это показано на рис. 21. При наложении на такие функции шумов точное определение места изломов по масштабным сечениям на малых значениях параметра становится невозможным, однако на больших значениях параметра такая возможность сохраняется, естественно, с уменьшением точности локализации.

Рис. 21. Преобразование изломов функций.

Аналогичный характер имеет влияние шумов и на другие локальные сигналы, приведенные на рис. 17-20, и если спектральные особенности сигналов достаточно глубоки по диапазону значений параметра , то остается возможность идентификации этих локальных сигналов и их места на временной оси.

Рис. 22. Преобразование гармонических функций.

Разделение гармонических функций на масштабной оси спектров, в том числе при наложении сильных шумовых процессов, приведено в примерах на рис. 22. Приведенный пример имеет чисто иллюстративный характер, так как для выделения гармонических процессов с постоянной частотой во времени целесообразно использовать спектральный анализ и частотные полосовые фильтры. Тем не менее, для локальных сигналов, типа модулированных гармоник, вейвлет-спектры достаточно хорошо показывают место их локализации на временной оси.

Рис. 23. Изменение фазы гармонического сигнала.

На рис. 23 приведен пример еще одной характерной особенности гармонического сигнала – изменение его фазы на , которое хорошо фиксируется на всех масштабах вейвлета, а, следовательно, достаточно легко определяется даже в присутствии сильных шумовых сигналов. При наложении синусоидальных сигналов на тренд вейвлет-преобразование на больших масштабах позволяет достаточно уверенно выделять характерные особенности тренда. Пример выделения изломов тренда приведен на рис. 24.

Рис. 24. Преобразование суммы трех сигналов.

Форма вейвлета (четность или нечетность), доминирующая частота и степень ее локализации существенно влияют на вейвлет-спектры анализируемых сигналов и на возможности выделения его локальных особенностей. На рисунках ниже приведены сравнительные спектры простых сигналов при использовании вейвлетов по 8-й производной Гаусса (рис. 25-32), который является четным и имеет в 4 раза более высокую доминирующую частоту, чем вейвлет Mhat.

Рис. 25. Импульсы Кронекера.
Рис. 26. Пики Лапласа.
Рис. 27. Функции Гаусса.
Рис. 28. Крутые скачки.
Рис. 29. Сглаженные скачки.
Рис. 30. Изломы функций.
Рис. 31. Фазовые скачки гармоник.
Рис. 32. Сумма двух модулированных синусоид.

Заметим, что при анализе произвольных сигналов использование разнотипных вейвлетов позволяет повысить достоверность выделения локальных особенностей сигналов.

См. также

Литература

  1. Астафьева Н.М. Вейвлет-анализ: Основы теории и примеры применения. – Успехи физических наук, 1996, т.166, № 11, стр. 1145-1170.
  2. Дьяконов В., Абраменкова И. MATLAB. Обработка сигналов и изображений. Специальный справочник. – СПб.: Питер, 2002, 608 с.
  3. Илюшин. Теория и применение вейвлет-анализа. – http://atm563.phus.msu.su/Ilyushin/index.htm.